\(1000\) 以下の素数は \(250\) 個以下であることを示せ.

実数 \(x\) に対し, \(x\) を超えない最大の整数を \([ x ]\) で表す. 数列 \(\{ a_k \}\) を \[ a_k = 2^{\left[ \sqrt{k} \right]} \quad ( k = 1, 2, 3, \cdots ) \] で定義する. 正の整数 \(n\) に対して \[ b_n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n^2} a_k \] を求めよ.

次の問いに答えよ.

1. (1)　\(a , b\) を実数とし, \(2\) 次方程式 \(x^2 -ax +b = 0\) が実数解 \(\alpha , \beta\) をもつとする. ただし, 重解の場合は \(\alpha = \beta\) とする. \(3\) 辺の長さが \(1 , \alpha , \beta\) である三角形が存在する \(( a , b )\) の範囲を求め図示せよ.

2. (2)　\(3\) 辺の長さが \(1 , \alpha , \beta\) である三角形が存在するとき, \[ \dfrac{\alpha \beta +1}{( \alpha +\beta )^2} \] の値の範囲を求めよ.

\(k \gt 0\) とする. 円 \(C\) を \(x^2 +(y-1)^2 = 1\) とし, 放物線 \(S\) を \(y = \dfrac{1}{k} x^2\) とする.

1. (1)　\(C\) と \(S\) が共有点をちょうど \(3\) 個持つときの \(k\) の範囲を求めよ.

2. (2)　\(k\) が (1) の範囲を動くとき, \(C\) と \(S\) の共有点のうちで \(x\) 座標が正の点を P とする. P における \(S\) の接線と \(S\) と \(y\) 軸とによって囲まれる領域の面積の最大値を求めよ.

サイコロを \(3\) 回投げて出た目を順に \(a , b , c\) とするとき, \[ \displaystyle\int _ {a-3}^{a+3} (x-b) (x-c) \, dx = 0 \] となる確率を求めよ.

\(6 \cdot 3^{3x} +1 = 7 \cdot 5^{2x}\) を満たす \(0\) 以上の整数 \(x\) をすべて求めよ.

\(\theta\) を実数とし, 数列 \(\{ a_n \}\) を \[ a_1 = 1 , \quad a_2 = \cos \theta , \quad a _{n+2} = \dfrac{3}{2} a _{n+1} -a_n \ ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] により定める. すべての \(n\) について \(a_n = \cos (n-1) \theta\) が成り立つとき, \(\cos \theta\) を求めよ.

硬貨が \(2\) 枚ある. 最初は \(2\) 枚とも表の状態で置かれている. 次の操作を \(n\) 回行ったあと, 硬貨が \(2\) 枚とも裏になっている確率を求めよ.

1. [操作]　\(2\) 枚とも表, または \(2\) 枚とも裏のときには, \(2\) 枚の硬貨両方を投げる. 表と裏が \(1\) 枚ずつのときには, 表になっている硬貨だけを投げる.