\(3\) 人でジャンケンをする. 各人はグー, チョキ, パーをそれぞれ \(\dfrac{1}{3}\) の確率で出すものとする. 負けた人は脱落し, 残った人で次回のジャンケンを行い（アイコのときは誰も脱落しない）, 勝ち残りが \(1\) 人になるまでジャンケンを続ける. このとき各回の試行は独立とする. \(3\) 人でジャンケンを始め, ジャンケンが \(n\) 回目まで続いて \(n\) 回目終了時に \(2\) 人が残っている確率を \(p_n\) , \(3\) 人が残っている確率を \(q_n\) とおく.

1. (1)　\(p_1 , q_1\) を求めよ.

2. (2)　\(p_n , q_n\) がみたす漸化式を導き, \(p_n , q_n\) の一般項を求めよ.

3. (3)　ちょうど \(n\) 回目で \(1\) 人の勝ち残りが決まる確率を求めよ.

\(x \gt 0\) とし, \(f(x) = \log x^{100}\) とおく.

(1)　次の不等式を証明せよ. \[ \dfrac{100}{x+1} \lt f(x+1) -f(x) \lt \dfrac{100}{x} \]

(2)　実数 \(a\) の整数部分（ \(k \leqq a \lt k+1\) となる整数 \(k\) ）を \([a]\) で表す. 整数 \(\left[ f(1) \right] , \left[ f(2) \right] , \cdots , \left[ f(1000) \right]\) のうちで異なるものの個数を求めよ. 必要ならば \(\log 10 = 2.3026\) として計算せよ.

\(k , m , n\) は整数とし, \(n \geqq 1\) とする. \({} _ {n}\text{C} {} _ {k}\) を二項係数として, \(S_k(n) , T_m(n)\) を以下のように定める. \[\begin{align} S_k(n) & = 1^k +2^k + \cdots +n^k , \ S_k(1) = 1 \quad ( k \geqq 0 ） \\ T_m(n) & = {} _ {m}\text{C} {} _ {1} S_1(n) +{} _ {m}\text{C} {} _ {2} S_2(n) + \cdots +{} _ {m}\text{C} {} _ {m-1} S_{m-1}(n) \\ & = \textstyle\sum\limits_{k=1}^{m-1} {} _ {m}\text{C} {} _ {k} S_k(n) \quad ( m \geqq 2 ) \end{align}\]

1. (1)　\(T_m(1)\) と \(T_m(2)\) を求めよ.

2. (2)　一般の \(n\) に対して \(T_m(n)\) を求めよ.

3. (3)　\(p\) が \(3\) 以上の素数のとき, \(S_k(p-1) \ ( k = 1, 2, 3, \cdots , p-2 )\) は \(p\) の倍数であることを示せ .

半径 \(1\) の円盤 \(C_1\) が半径 \(2\) の円盤 \(C_2\) に貼り付けられており, \(2\) つの円盤の中心は一致する. \(C_2\) の周上にある定点を A とする. 図のように, 時刻 \(t=0\) において \(C_1\) はO \((0,0)\) で \(x\) 軸に接し, A は座標 \((0,-1)\) の位置にある. \(2\) つの円盤は一体となり, \(C_1\) は \(x\) 軸上をすべることなく転がっていく. 時刻 \(t\) で \(C_1\) の中心が \((t,1)\) にあるように転がるとき, \(0 \leqq t \leqq 2 \pi\) において A が描く曲線を \(C\) とする.

(1)　時刻 \(t\) における A の座標を \(\left( x(t) , y(t) \right)\) で表す. \(\left( x(t) , y(t) \right)\) を求めよ.

(2)　\(x(t)\) と \(y(t)\) の \(t\) に関する増減を調べ, \(x(t)\) あるいは \(y(t)\) が最大値または最小値をとるときの A の座標を全て求めよ.

(3)　\(C\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

\(2\) 行 \(2\) 列の行列 \(\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) を考える. \(a , b , d\) が実数で \(c = 0\) である行列 \(\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \end{array} \right)\) を上三角行列という. また, \(E = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) とおく.

1. (1)　\(A^2 = E\) をみたす上三角行列 \(A\) をすべて求めよ.

2. (2)　\(A^3 = E\) をみたす上三角行列 \(A\) をすべて求めよ.

3. (3)　上三角行列 \(A\) が \(A^4 = E\) をみたすとき, \(A^2 = E\) となることを示せ.

1. (1)　関数 \(f(x) = 2x^3-3x^2+1\) のグラフをかけ.

2. (2)　方程式 \(f(x) = a\) （ \(a\) は実数）が相異なる \(3\) つの実数解 \(\alpha \lt \beta \lt \gamma\) を持つとする. \(\ell = \gamma -\alpha\) を \(\beta\) のみを用いて表せ.

3. (3)　(2) の条件のもとで変化するとき \(\ell\) の動く範囲を求めよ.

数列 \(\{ a _ n \} \ ( a _ n \gt 0 )\) を次の規則によって定める： \[ a _ 1 = 1 \ : \ \displaystyle\int _ {a _ n}^{a _ {n+1}} \dfrac{dx}{\sqrt[3]{x}} = 1 \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] 曲線 \(y= \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\) と, \(x\) 軸および \(2\) 直線 \(x = a _ n\) , \(x = a _ {n+1}\) で囲まれた図形を \(x\) 軸の周りに \(1\) 回転させた回転体の体積を \(V _ x\) とする. このとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \sqrt{n} V _ x\) を求めよ.