\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(1\) から \(n\) までの整数が \(1\) つずつ書かれている \(n\) 枚のカードがある. ただし, 異なるカードには異なる整数が書かれているものとする. この \(n\) 枚のカードから, \(1\) 枚のカードを無作為に取り出して, 書かれた整数を調べてからもとに戻す. この試行を \(3\) 回繰り返し, 取り出したカードに書かれた整数の最小値を \(X\) , 最大値を \(Y\) とする. 次の問に答えよ. ただし, \(j\) と \(k\) は正の整数で \(j+k \leqq n\) を満たすとする. また, \(s\) は \(n-1\) 以下の正の整数とする.

1. (1)　\(X \geqq j\) かつ \(Y \leqq j+k\) となる確率を求めよ.

2. (2)　\(X = j\) かつ \(Y = j+k\) となる確率を求めよ.

3. (3)　\(Y-X = s\) となる確率を \(P(s)\) とする. \(P(s)\) を求めよ.

4. (4)　\(n\) が偶数のとき, \(P(s)\) を最大にする \(s\) を求めよ.

\(m , p\) を \(3\) 以上の奇数とし, \(m\) は \(p\) で割り切れないとする.

1. (1)　\((x-1)^{101}\) の展開式における \(x^2\) の項の係数を求めよ.

2. (2)　\((p-1)^m +1\) は \(p\) で割り切れることを示せ.

3. (3)　\((p-1)^m +1\) は \(p^2\) で割り切れないことを示せ.

4. (4)　\(r\) を正の整数とし, \(s = 3^{r-1}m\) とする. \(2^s +1\) は \(3^r\) で割り切れることを示せ.

\(a , b , c\) を実数として \(f(x) = x^4 +ax^3 +bx^2 +cx +2\) とする. 行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{array} \right)\) と単位行列 \(E\) に対して, \(A^4 +aA^3 +bA^2 +cA +2E = O\) （ただし \(O\) は零行列）とする.

1. (1)　\(b , c\) を \(a\) を用いて表せ.

2. (2)　方程式 \(f(x) = 0\) が少なくとも \(1\) つ正の解を持つとき, \(a\) のとりうる値の範囲を求めよ.

三角形 ABC で辺 AC を \(s : 1-s\) に内分する点を P , 辺 BC を \(t : 1-t\) に内分する点を Q , 線分 AQ と線分 BP の交点を R とする. このとき, \[ \text{△APR の面積} = 2 \times ( \text{△BQR の面積} ) \] が成り立っているとする.

1. (1)　\(s\) を \(t\) を用いて表せ.

2. (2)　極限 \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow +0} \dfrac{s}{t}\) を求めよ. ただし, \(t\) が正の範囲で \(0\) に限りなく近づくとき, \(t \rightarrow +0\) と表す.

曲線 \(C : \ y = \log x\) 上の点 P \(( a, \log a )\) , 点 Q \(( b, \log b )\) （ \(1 \lt a \lt b\) ）をとる. 点 P , Q から \(x\) 軸に下ろした \(2\) 本の垂線と \(x\) 軸および曲線 \(C\) で囲まれた部分の面積を \(S\) とする. 点 P , Q から \(y\) 軸に下ろした \(2\) 本の垂線と \(y\) 軸および曲線 \(C\) で囲まれた部分の面積を \(T\) とする. このとき, \(S = T\) となるように \(b\) がとれる \(a\) の値を求めよ.

次の問に答えよ.

1. (1)　\(3x+2y \leqq 2008\) を満たす \(0\) 以上の整数の組 \((x,y)\) の個数を求めよ.

2. (2)　\(\dfrac{x}{2} +\dfrac{y}{3} +\dfrac{z}{6} \leqq 10\) を満たす \(0\) 以上の整数の組 \((x,y,z)\) の個数を求めよ.

袋 A の中に赤玉と白玉がそれぞれ \(4\) つ入っていることと, 袋 B の中に赤玉 \(3\) つと白玉 \(2\) つが入っていることがわかっている.

1. (1)　袋 B から \(2\) つの玉を取り出すとき, 取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ.

2. (2)　袋 A から \(3\) つの玉を取り出し, そのあと袋 B から \(2\) つの玉を取り出す. その \(5\) つの玉のうち赤玉が \(3\) つである確率を求めよ.

3. (3)　袋 A から \(3\) つの玉を取り出したあとで, \(2\) つの玉を袋 A から取り出すかあるいは \(2\) つの玉を袋 B から取り出すかのどちらかを選択できるとする. できるだけ多くの赤玉を取り出そうと選択したとき, 最終的に取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ.

\(a \gt 0 , \ b \gt 0\) とする. 点 A \((0, a)\) を中心とする半径 \(r\) の円が, 双曲線 \(x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) と \(2\) 点 B \((s, t)\) , C \((-s, t)\) で接している. ただし, \(s \gt 0\) とする. ここで, 双曲線と円が点 P で接するとは, P が双曲線と円の共有点であり, かつ点 P における双曲線の接線と点 P における円の接線が一致することである.

1. (1)　\(r , s , t\) を \(a\) と \(b\) を用いて表せ.

2. (2)　△ABC が正三角形となる \(a\) と \(r\) が存在するような \(b\) の値を求めよ.