正の整数 \(n\) に対して \[ S _ n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \dfrac{1}{k} \] とおき, \(1\) 以上 \(n\) 以下のすべての奇数の積を \(A _ n\) とする.
(1) \(\log _ 2 n\) 以下の最大の整数を \(N\) とするとき, \(2^N A _ n S _ n\) は奇数の整数であることを示せ.
(2) \(S _ n = 2 +\dfrac{m}{20}\) となる正の整数の組 \(( n , m )\) をすべて求めよ.
(3) 整数 \(a\) と \(0 \leqq b \lt 1\) をみたす実数 \(b\) を用いて, \[ A _ {20} S _ {20} = a+b \] と表すとき, \(b\) の値を求めよ.
円上の \(5\) 点 A, B, C, D, E は反時計回りにこの順に並び, 円周を \(5\) 等分している. \(5\) 点 A, B, C, D, E を頂点とする正五角形を \(\text{R} _ 1\) とする. \(\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{c}\) とおき, \(\overrightarrow{a}\) の大きさを \(x\) とする.
(1) \(\overrightarrow{\text{AC}}\) の大きさを \(y\) とするとき, \(x^2 = y (y-x)\) がなりたつことを示せ.
(2) \(\overrightarrow{\text{BC}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{c}\) を用いて表せ.
(3) \(\text{R} _ 1\) の対角線の交点として得られる \(\text{R} _ 1\) の内部の \(5\) つの点を頂点とする正五角形を \(\text{R} _ 2\) とする. \(\text{R} _ 2\) の一辺の長さを \(x\) を用いて表せ.
(4) \(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対して, \(\text{R} _ n\) の対角線の交点として得られる \(\text{R} _ n\) の内部の \(5\) つの点を頂点とする正五角形を \(\text{R} _ {n+1}\) とし, \(\text{R} _ n\) の面積を \(S _ n\) とする. \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{S _ 1} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} (-1)^{k+1} S _ k \] を求めよ.
自然数 \(n\) に対して関数 \(f _ n (x)\) を \[ f _ n (x) = \dfrac{x}{n (1+x)} \log \left( 1 +\dfrac{x}{n} \right) \quad ( x \geqq 0 ) \] で定める. 以下の問いに答えよ.
(1) \(\displaystyle\int _ 0^n f(x) \, dx \leqq \displaystyle\int _ 0^1 \log (1+x) \, dx\) を示せ.
(2) 数列 \(\{ I _ n \}\) を \[ I _ n = \displaystyle\int _ 0^n f(x) \, dx \] で定める. \(0 \leqq x \leqq 1\) のとき \(\log ( 1+x ) \leqq \log 2\) であることを用いて数列 \(\{ I _ n \}\) が収束することを示し, その極限値を求めよ. ただし, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{\log x}{x} = 0\) であることは用いてよい.
実数 \(x , y\) が \(|x| \leqq 1\) と \(|y| \leqq 1\) を満たすとき, 不等式 \[ 0 \leqq x^2 +y^2 -2 x^2 y^2 +2xy \sqrt{1 -x^2} \sqrt{1 -y^2} \leqq 1 \] が成り立つことを示せ.
以下の問いに答えよ.
(1) \(\sqrt{2}\) と \(\sqrt[3]{3}\) が無理数であることを示せ.
(2) \(p , q , \sqrt{2} +\sqrt[3]{3} q\) がすべて有理数であるとする. そのとき, \(p = q = 0\) であることを示せ.
座標空間の \(x\) 軸上に動点 P , Q がある. P , Q は時刻 \(0\) において, 原点を出発する. P は \(x\) 軸の正の方向に, Q は \(x\) 軸の負の方向に, ともに速さ \(1\) で動く. その後, ともに時刻 \(1\) で停止する. 点 P , Q を中心とする半径 \(1\) の球をそれぞれ \(A , B\) とし, 空間で \(x \geqq -1\) の部分を \(C\) とする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 時刻 \(t \ ( 0 \leqq t \leqq 1 )\) における立体 \(( A \cup B ) \cap C\) の体積 \(V(t)\) を求めよ.
(2) \(V(t)\) の最大値を求めよ.
\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. 正方形の形に並んだ \(n \times n\) のマスに \(0\) または \(1\) のいずれかの数字を入れる. マスは上から第 \(1\) 行, 第 \(2\) 行, … , 左から第 \(1\) 列, 第 \(2\) 列, … , と数える. 数字の入れ方についての次の条件 \(p\) を考える.
(1) 条件 \(p\) を満たすとき, 第 \(n\) 行と第 \(n\) 列の少なくとも一方には \(0\) と \(1\) が交互に現れることを示せ.
(2) 条件 \(p\) を満たすような数字の入れ方の総数 \(a _ n\) を求めよ.
実数 \(a , b , c , d , e\) に対して, 座標平面上の点 A \((a,b)\) , B \((c,d)\) , C \((e,0)\) をとる. ただし点 A と点 B はどちらも原点O \((0,0)\) とは異なる点とする. このとき, 実数 \(s , t\) で \[ s \overrightarrow{\text{OA}} +t \overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{\text{OC}} \] を満たすものが存在するための, \(a , b , c , d , e\) についての必要十分条件を求めよ.