\(xy\) 平面において \(2\) つの円 \[\begin{align} C _ 1 \ & : \ x^2 -2x +y^2 +4y -11 = 0 \ , \\ C _ 2 \ & : \ x^2 -8x +y^2 -4y +k = 0 \end{align}\] が外接するとし, その接点を P とする. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(k\) の値を求めよ.

2. (2)　P の座標を求めよ.

3. (3)　円 \(C_1\) と円 \(C_2\) の共通接線のうち点 P を通らないものは \(2\) 本ある. これら \(2\) 直線の交点 Q の座標を求めよ.

\(t = \sin \theta +\cos \theta\) とし, \(\theta\) は \(-\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) の範囲を動くものとする.

1. (1)　\(t\) のとりうる値の範囲を求めよ.

2. (2)　\(\sin^3 \theta +\cos^3 \theta\) と \(\cos 4 \theta\) を, それぞれ \(t\) を用いて表せ.

3. (3)　\(\sin^3 \theta +\cos^3 \theta = \cos 4 \theta\) であるとき, \(t\) の値をすべて求めよ.

O を原点とする座標空間において, \(3\) 点 A \(( -2 , 0 , 0 )\) , B \(( 0 , 1 , 0 )\) , C \(( 0 , 0 , 1 )\) を通る平面を \(\alpha\) とする. \(2\) 点 P \(( 0 , 5 , 5 )\) , Q \(( 1 , 1 , 1 )\) をとる. 点 P を通り \(\overrightarrow{\text{OQ}}\) に平行な直線を \(\ell\) とする. 直線 \(\ell\) 上の点 R から平面 \(\alpha\) に下した垂線と \(\alpha\) の交点を S とする. \(\overrightarrow{\text{OR}} = \overrightarrow{\text{OP}} +k \overrightarrow{\text{OQ}}\) （ただし \(k\) は実数）とおくとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(k\) を用いて, \(\overrightarrow{\text{AS}}\) を成分で表せ.

2. (2)　点 S が \(\triangle \text{ABC}\) の内部または周にあるような \(k\) の値の範囲を求めよ.

\(p , q\) を定数とし, \(0 \lt p \lt 1\) とする. \[\begin{align} \text{曲線} \ C_1 \ & : \ y = p x^{\frac{1}{p}} \quad ( x \gt 0 ) \quad \text{と, } \\ \text{曲線} \ C_2 \ & : \ y = \log x +q \quad ( x \gt 0 ) \end{align}\] が, ある \(1\) 点 \(( a , b )\) において同じ直線に接するとする. 曲線 \(C_1\) , 直線 \(x = a\) , 直線 \(x = e^{-q}\) および \(x\) 軸で囲まれた図形の面積を \(S_1\) とする. また, 曲線 \(C_2\) , 直線 \(x = a\) および \(x\) 軸で囲まれた図形の面積を \(S_2\) とする.

1. (1)　\(q\) を \(p\) を用いて表せ.

2. (2)　\(S_1 , S_2\) を \(p\) を用いて表せ.

3. (3)　\(\dfrac{S_2}{S_1} \geqq \dfrac{3}{4}\) であることを示せ. ただし, \(2.5 \lt e \lt 3\) を用いてよい.

O を原点とする \(xy\) 平面において, 点 A \(( -1 , 0 )\) と点 B \(( 2 , 0 )\) をとる. 円 \(x^2 +y^2 = 1\) の, \(x \geqq 0\) かつ \(y \geqq 0\) を満たす部分を \(C\) とし, また点 B を通り \(y\) 軸に平行な直線を \(\ell\) とする. \(2\) 以上の整数 \(n\) に対し, 曲線 \(C\) 上に点 P, Q を \[ \angle \text{POB} = \dfrac{\pi}{n} \ , \ \angle \text{QOB} = \dfrac{\pi}{2n} \] を満たすようにとる. 直線 AP と直線 \(\ell\) の交点を V とし, 直線 AQ と直線 \(\ell\) の交点を W とする. 線分 AP, 線分 AQ および曲線 \(C\) で囲まれた図形の面積を \(S(n)\) とする. また線分 PV, 線分 QW, 曲線 \(C\) および線分 VW で囲まれた図形の面積を \(T(n)\) とする.

1. (1)　\(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} n \{ S(n) +T(n) \}\) を求めよ.

2. (2)　\(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{T(n)}{S(n)}\) を求めよ.

\(i\) を虚数単位とする. 複素数平面において, 複素数 \(z\) の表す点 P を P \((z)\) または点 \(z\) と書く. \(\omega = -\dfrac{1}{2} +\dfrac{\sqrt{3}}{2} i\) とおき, \(3\) 点 A \((1)\) , B \(( \omega )\) , C \(( \omega^2 )\) を頂点とする \(\triangle \text{ABC}\) を考える.

1. (1)　\(\triangle \text{ABC}\) は正三角形であることを示せ.

2. (2)　点 \(z\) が辺 AC 上を動くとき, 点 \(-z\) が描く図形を複素数平面上に図示せよ.

3. (3)　点 \(z\) が辺 AB 上を動くとき, 点 \(z^2\) が描く図形を \(E_1\) とする. また, 点 \(z\) が辺 AC 上を動くとき, 点 \(z^2\) が描く図形を \(E_2\) とする. \(E_1\) と \(E_2\) の共有点をすべて求めよ.

\(k\) を実数とする. \(xy\) 平面の曲線 \(C _ 1 : \ y = x^2\) と \(C _ 2 : \ y = -x^2 +2kx +1 -k^2\) が異なる共有点 P , Q を持つとする. ただし点 P , Q の \(x\) 座標は正であるとする. また, 原点を O とする.

1. (1)　\(k\) のとりうる値の範囲を求めよ.

2. (2)　\(k\) が (1) の範囲を動くとき, \(\triangle \text{OPQ}\) の重心 G の軌跡を求めよ.

3. (3)　\(\triangle \text{OPQ}\) の面積を \(S\) とするとき, \(S^2\) を \(k\) を用いて表せ.

4. (4)　\(k\) が (1) の範囲を動くとする. \(\triangle \text{OPQ}\) の面積が最大となるような \(k\) の値と, そのときの重心 G の座標を求めよ.

\(xy\) 平面の直線 \(y = \left( \tan 2 \theta \right) x\) を \(\ell\) とする. ただし, \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{4}\) とする. 図で示すように, 円 \(C _ 1 , C _ 2\) を以下の (i) ～ (iv) で定める.

1. (i)　円 \(C _ 1\) は直線 \(\ell\) および \(x\) 軸の正の部分と接する.

2. (ii)　円 \(C _ 1\) の中心は第 \(1\) 象限にあり, 原点 O から中心までの距離 \(d _ 1\) は \(\sin 2 \theta\) である.

3. (iii)　円 \(C _ 2\) は直線 \(\ell\) , \(x\) 軸の正の部分, および円 \(C _ 1\) と接する.

4. (iv)　円 \(C _ 2\) の中心は第 \(1\) 象限にあり, 原点 O から中心までの距離 \(d _ 2\) は \(d _ 1 \gt d _ 2\) を満たす.

円 \(C _ 1\) と円 \(C _ 2\) の共通接線のうち, \(x\) 軸, 直線 \(\ell\) と異なる直線を \(m\) とし, 直線 \(m\) と直線 \(\ell\) , \(x\) 軸との交点をそれぞれ P , Q とする.

1. (1)　円 \(C _ 1 , C _ 2\) の半径を \(\sin \theta , \cos \theta\) を用いて表せ.

2. (2)　\(\theta\) が \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{4}\) の範囲を動くとき, 線分 PQ の長さの最大値を求めよ.

3. (3)　(2) の最大値を与える \(\theta\) について直線 \(m\) の方程式を求めよ.