以下の問に答えよ.

1. (1)　正の奇数 \(K , L\) と正の整数 \(A , B\) が \(KA = LB\) を満たしているとする. \(K\) を \(4\) で割った余りが \(L\) を \(4\) で割った余りと等しいならば, \(A\) を \(4\) で割った余りは \(B\) を \(4\) で割った余りと等しいことを示せ.

2. (2)　正の整数 \(a , b\) が \(a \gt b\) を満たしているとする. このとき, \(A = {} _ {4a+1} \text{C} {} _ {4b+1}\) , \(B = {} _ {a} \text{C} {} _ {b}\) に対して \(KA =LB\) となるような正の奇数 \(K , L\) が存在することを示せ.

3. (3)　\(a , b\) は (2) の通りとし, さらに \(a-b\) が \(2\) で割り切れるとする. \({} _ {4a+1} \text{C} {} _ {4b+1}\) を \(4\) で割った余りは \({} _ {a} \text{C} {} _ {b}\) を \(4\) で割った余りと等しいことを示せ.

4. (4)　\({} _ {2021} \text{C} {} _ {37}\) を \(4\) で割った余りを求めよ.

\(\alpha\) を正の実数とする. \(0 \leqq \theta \leqq \pi\) における \(\theta\) の関数 \(f( \theta )\) を, 座標平面上の \(2\) 点 A \(( -\alpha , -3 )\) , P \(( \theta +\sin \theta , \cos \theta )\) 間の距離 AP の \(2\) 乗として定める.

1. (1)　\(0 \lt \theta \lt \pi\) の範囲に \(f'( \theta ) = 0\) となる \(\theta\) がただ \(1\) つ存在することを示せ.

2. (2)　以下が成り立つような \(\alpha\) の範囲を求めよ.

   1. \(0 \leqq \theta \leqq \pi\) における \(\theta\) の関数 \(f( \theta )\) は, 区間 \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) のある点において最大になる.

定数 \(b , c , p , q , r\) に対し, \[ x^4 +bx +c = ( x^2 +px +q ) ( x^2 -px +r ) \] が \(x\) についての恒等式であるとする.

1. (1)　\(p \neq 0\) であるとき, \(q , r\) を \(p , b\) で表せ.
2. (2)　\(p \neq 0\) とする. \(b , c\) が定数 \(a\) を用いて \[ b = ( a^2 +1 ) (a+2) , \quad c = -\left( a +\dfrac{3}{4} \right) ( a^2 +1 ) \] と表されているとき, 有理数を係数とする \(t\) についての整式 \(f(t)\) と \(g(t)\) で \[ \{ p^2 -( a^2 +1 ) \} \{ p^4 +f(a) p^2 +g(a) \} = 0 \] を満たすものを \(1\) 組求めよ.
3. (3)　\(a\) を整数とする. \(x\) の \(4\) 次式 \[ x^4 +( a^2 +1 ) (a+2) x -\left( a +\dfrac{3}{4} \right) ( a^2 +1 ) \] が有理数を係数とする \(2\) 次式の積に因数分解できるような \(a\) をすべて求めよ.