\(xy\) 平面上に \(3\) 点 O \(( 0 , 0 )\) , A \(( 1 , 0 )\) , B \(( 0 , 1 )\) がある.
(1) \(a \gt 0\) とする. \(\text{OP} : \text{AP} = 1 : a\) を満たす点Pの軌跡を求めよ.
(2) \(a \gt 0 , \ b \gt 0\) とする. \(\text{OP} : \text{AP} : \text{BP} = 1 : a : b\) を満たす点 P が存在するための \(a , b\) に対する条件を求め, \(ab\) 平面上に図示せよ.
\(a , b\) は \(a \geqq b \gt 0\) を満たす整数とし, \(x\) と \(y\) の \(2\) 次方程式 \(x^2+ax+b = 0\) , \(y^2+by+a = 0\) がそれぞれ整数解をもつとする.
(1) \(a = b\) とするとき, 条件を満たす整数 \(a\) をすべて求めよ.
(2) \(a \gt b\) とするとき, 条件を満たす整数の組 \(( a , b )\) をすべて求めよ.
ある硬貨を投げたとき, 表と裏がそれぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で出るとする. この硬貨を投げる操作を繰り返し行い, \(3\) 回続けて表が出たときこの操作を終了する. 自然数 \(n\) に対し,
操作がちょうど \(n\) 回目で終了となる確率を \(P _ n\)
操作が \(n\) 回以上繰り返される確率を \(Q _ n\)
とする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(P _ 3 , P _ 4 , P _ 5 , P _ 6 , P _ 7\) をそれぞれ求めよ.
(2) \(Q _ 6 , Q _ 7\) をそれぞれ求めよ.
(3) \(n \geqq 5\) のとき, \(Q _ n -Q _ {n-1}\) を \(Q _ {n-4}\) を用いて表せ.
(4) \(n \geqq 4\) のとき, \(Q _ n \lt \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}}\) が成り立つことを示せ.
座標平面において, 原点を O とし, 次のような3点 P , Q , R を考える.
(a) 点 P は \(x\) 軸上にあり, その \(x\) 座標は正である.
(b) 点 Q は第 \(1\) 象限にあって, \(\text{OQ} = \text{QP} = 1\) を満たす.
(c) 点 R は第 \(1\) 象限にあって, \(\text{OR} +\text{RP} = 2\) を満たし, かつ線分 RP が \(x\) 軸に垂直となる.
ただし, 座標軸は第 \(1\) 象限に含めないものとする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) 上の条件を満たす \(2\) 点 Q , R が存在するような, 点 P の \(x\) 座標が取りうる値の範囲を求めよ.
(2) (1) の範囲を点 P が動くとき, 線分 QR が通過する領域を図示し, その面積を求めよ.
(3) 線分 OP の中点を M とする. (1) の範囲を点 P が動くとき, 四角形 MPRQ の面積を最大にする点 P の \(x\) 座標を求めよ.
自然数 \(n\) に対し \[\begin{align} S _ n & = \displaystyle\int _ 0^1 \dfrac{1 -(-x)^n}{1+x} \, dx \\ T _ n & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1}}{k( k+1 )} \end{align}\] とおく. このとき以下の各問いに答えよ.
(2) \(T _ n -2S _ n\) を \(n\) を用いて表せ.
(3) 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} T _ n\) を求めよ.
\(n\) を自然数とする. \(xy\) 平面上で行列 \(\left( \begin{array}{cc} 1-n & 1 \\ -n( n+1 ) & n+2 \end{array} \right)\) の表す \(1\) 次変換（移動ともいう）を \(f _ n\) とする. 次の問に答えよ.
(1) 原点 O \(( 0 , 0 )\) を通る直線で, その直線上のすべての点が \(f _ n\) により同じ直線上に移されるものが \(2\) 本あることを示し, この \(2\) 直線の方程式を求めよ.
(2) (1) で得られた \(2\) 直線と曲線 \(y = x^2\) によって囲まれる図形の面積 \(S _ n\) を求めよ.
(3) \(\textstyle\sum\limits _ {n=1}^{\infty} \dfrac{1}{S _ n -\frac{1}{6}}\) を求めよ.
実数 \(x\) に対して, \(f(x) = \displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{2}} \left| \cos t -x \sin 2t \right| \, dt\) とおく.
(1) 関数 \(f(x)\) の最小値を求めよ.
(2) 定積分 \(\displaystyle\int _ 0^1 f(x) \, dx\) を求めよ.
定数 \(k\) は \(k \gt 1\) をみたすとする. \(xy\) 平面上の点 A \(( 1 , 0 )\) を通り \(x\) 軸に垂直な直線の第 \(1\) 象限に含まれる部分を, \(2\) 点 X, Y が \(\text{AY} = k \text{AX}\) をみたしながら動いている. 原点 O \(( 0 , 0 )\) を中心とする半径 \(1\) の円と線分 OX, OY が交わる点をそれぞれ P, Q とするとき, △OPQ の面積の最大値を \(k\) を用いて表せ.