\(1\) 以上 \(6\) 以下の \(2\) つの整数 \(a , b\) に対し, 関数 \(f _ n (x) = \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を次の条件 (ア), (イ), (ウ) で定める. \[ \begin{array}{lll} \text{(ア)} & f _ 1 (x) = \sin ( \pi x ) & \\ \text{(イ)} & f _ {2n} (x) = f _ {2n-1} \left( \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} -x \right) & ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \\ \text{(ウ)} & f _ {2n+1} (x) = f _ {2n} ( -x ) & ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \end{array} \] 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(a = 2\) , \(b = 3\) のとき, \(f _ 5 (0)\) を求めよ.

2. (2)　\(a = 2\) , \(b = 3\) のとき, \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{100} (-1)^k f _ {2k} (0)\) を求めよ.

3. (3)　\(1\) 個のさいころを \(2\) 回投げて, \(1\) 回目に出る目を \(a\) , \(2\) 回目に出る目を \(b\) とするとき, \(f _ 6 (0) = 0\) となる確率を求めよ.

次の問いに答えよ.

1. (1)　\(c\) を正の定数とする. 正の実数 \(x , y\) が \(x+y = c\) をみたすとき, \[ \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \] の最小値を \(c\) を用いて表せ.

2. (2)　正の実数 \(x , y , z\) が \(x+y+z = 1\) をみたすとき, \[ \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \left( 1 -\dfrac{4}{3z} \right) \] の最大値を求めよ.

座標平面において, 原点 O を中心とする半径 \(r\) の円と放物線 \(y = \sqrt{2} (x-1)^2\) は, ただ \(1\) つの共有点 \(( a , b )\) をもつとする.

1. (1)　\(a , b , r\) の値をそれぞれ求めよ.

2. (2)　連立不等式 \[ a \leqq x \leqq 1 , \quad 0 \leqq y \leqq \sqrt{2} (x-1)^2 , \quad x^2 +y^2 \geqq r^2 \] の表す領域を, \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の体積を求めよ.

正の整数 \(n\) に対して \[ S _ n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \dfrac{1}{k} \] とおき, \(1\) 以上 \(n\) 以下のすべての奇数の積を \(A _ n\) とする.

1. (1)　\(\log _ 2 n\) 以下の最大の整数を \(N\) とするとき, \(2^N A _ n S _ n\) は奇数の整数であることを示せ.

2. (2)　\(S _ n = 2 +\dfrac{m}{20}\) となる正の整数の組 \(( n , m )\) をすべて求めよ.

3. (3)　整数 \(a\) と \(0 \leqq b \lt 1\) をみたす実数 \(b\) を用いて, \[ A _ {20} S _ {20} = a+b \] と表すとき, \(b\) の値を求めよ.

円上の \(5\) 点 A, B, C, D, E は反時計回りにこの順に並び, 円周を \(5\) 等分している. \(5\) 点 A, B, C, D, E を頂点とする正五角形を \(\text{R} _ 1\) とする. \(\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{c}\) とおき, \(\overrightarrow{a}\) の大きさを \(x\) とする.

1. (1)　\(\overrightarrow{\text{AC}}\) の大きさを \(y\) とするとき, \(x^2 = y (y-x)\) がなりたつことを示せ.

2. (2)　\(\overrightarrow{\text{BC}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{c}\) を用いて表せ.

3. (3)　\(\text{R} _ 1\) の対角線の交点として得られる \(\text{R} _ 1\) の内部の \(5\) つの点を頂点とする正五角形を \(\text{R} _ 2\) とする. \(\text{R} _ 2\) の一辺の長さを \(x\) を用いて表せ.

4. (4)　\(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対して, \(\text{R} _ n\) の対角線の交点として得られる \(\text{R} _ n\) の内部の \(5\) つの点を頂点とする正五角形を \(\text{R} _ {n+1}\) とし, \(\text{R} _ n\) の面積を \(S _ n\) とする. \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{S _ 1} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} (-1)^{k+1} S _ k \] を求めよ.