\(a\) を実数とし, \(f(x) = x^3 -3ax\) とする. 区間 \(-1\leq x \leqq 1\) における \(| f(x) |\) の最大値を \(M\) とする. \(M\) の最小値とそのときの \(a\) の値を求めよ.

平面上の \(2\) つのベクトル \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) は零ベクトルではなく, \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角度は \(60^{\circ}\) である. このとき \[ r = \dfrac{\left| \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} \right|}{\left| 2 \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right|} \] のとりうる値の範囲を求めよ.

\(x\) は \(0\) 以上の整数である. 次の表は \(2\) つの科目 X と Y の試験を受けた \(5\) 人の得点をまとめたものである. \[ \begin{array}{c|ccccc} & [1] & [2] & [3] & [4] & [5] \\ \hline \text{科目 X の得点} & x & 6 & 4 & 7 & 4 \\ \hline \text{科目 Y の得点} & 9 & 7 & 5 & 10 & 9 \end{array} \]

1. (1)　\(2n\) 個の実数 \(a_1 , a_2 , \cdots , a_n , b_1 , b_2 , \cdots b_n\) について, \(a = \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a_k\) , \(b = \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} b_k\) とすると, \[ \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} ( a_k -a ) ( b_k -b ) = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a_k b_k -nab \] が成り立つことを示せ.

2. (2)　科目 X の得点と科目 Y の得点の相関係数 \(r_{XY}\) を \(x\) で表せ.

3. (3)　\(x\) の値を \(2\) 増やして \(r _{XY}\) を計算しても値は同じであった. このとき, \(r _{XY}\) の値を四捨五入して小数第 \(1\) 位まで求めよ.

\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(n\) 以下の正の整数のうち, \(n\) との最大公約数が \(1\) となるものの個数を \(E(n)\) で表す. たとえば \[ E(2) = 1 , \ E(3) = 2 , \ E(4) = 2 , \ \cdots , \quad E(10) = 4 , \ \cdots \] である.

1. (1)　\(E(1024)\) を求めよ.

2. (2)　\(E(2015)\) を求めよ.

3. (3)　\(m\) を正の整数とし, \(p\) と \(q\) を異なる素数とする. \(n = p^m q^m\) のとき \(\dfrac{E(n)}{n} \geqq \dfrac{1}{3}\) が成り立つことを示せ.

座標平面上の原点を O とする. 点 A \(( a , 0 )\) , 点 B \(( 0 , b )\) および点 C が \[ \text{OC} = 1 , \quad \text{AB} = \text{BC} = \text{CA} \] を満たしながら動く.

1. (1)　\(s = a^2 +b^2\) , \(t = ab\) とする. \(s\) と \(t\) の関係を表す等式を求めよ.

2. (2)　\(\triangle \text{ABC}\) の面積のとりうる値の範囲を求めよ.

\(n\) を \(4\) 以上の整数とする. 正 \(n\) 角形の \(2\) つの頂点を無作為に選び, それらを通る直線を \(l\) とする. さらに, 残りの \(n-2\) 個の頂点から \(2\) つの頂点を無作為に選び, それらを通る直線を \(m\) とする. 直線 \(l\) と \(m\) が平行になる確率を求めよ.

\(xyz\) 空間において, 原点を中心とする \(xy\) 平面上の半径 \(1\) の円周上を点 P が動き, 点 \(( 0 , 0 , \sqrt{3} )\) を中心とする \(xz\) 平面上の半径 \(1\) の円周上を点 Q が動く.

1. (1)　線分 PQ の長さの最小値と, そのときの点 P , Q の座標を求めよ.

2. (2)　線分 PQ の長さの最大値と, そのときの点 P , Q の座標を求めよ.

数列 \(\{ a _ k \}\) を \(a _ k = k +\cos \left( \dfrac{k \pi}{6} \right)\) で定める. \(n\) を正の整数とする.

1. (1)　\(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{12n} a _ k\) を求めよ.

2. (2)　\(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{12n} {a _ k}^2\) を求めよ.