\(i\) を虚数単位とする. 複素数平面において, 複素数 \(z\) の表す点 P を P \((z)\) または点 \(z\) と書く. \(\omega = -\dfrac{1}{2} +\dfrac{\sqrt{3}}{2} i\) とおき, \(3\) 点 A \((1)\) , B \(( \omega )\) , C \(( \omega^2 )\) を頂点とする \(\triangle \text{ABC}\) を考える.
(1) \(\triangle \text{ABC}\) は正三角形であることを示せ.
(2) 点 \(z\) が辺 AC 上を動くとき, 点 \(-z\) が描く図形を複素数平面上に図示せよ.
(3) 点 \(z\) が辺 AB 上を動くとき, 点 \(z^2\) が描く図形を \(E_1\) とする. また, 点 \(z\) が辺 AC 上を動くとき, 点 \(z^2\) が描く図形を \(E_2\) とする. \(E_1\) と \(E_2\) の共有点をすべて求めよ.
\(a , b\) を \(0 \lt a \lt 1\) , \(0 \lt b \lt 1\) を満たす実数とする. 平面上の三角形 ABC を考え, 辺 AB を \(a : 1-a\) に内分する点を P , 辺 BC を \(b : 1-b\) に内分する点を Q , 辺 CA の中点を R とし, 三角形 ABC の面積を \(S\) , 三角形 PQR の面積を \(T\) とする.
(1) \(\dfrac{T}{S}\) を \(a , b\) で表せ.
(2) \(a , b\) が \(0 \lt a \lt \dfrac{1}{2}\) , \(0 \lt b \lt \dfrac{1}{2}\) の範囲を動くとき, \(\dfrac{T}{S}\) がとりうる値の範囲を求めよ.
(3) \(p , q\) を \(3\) 以上の整数とし, \(a = \dfrac{1}{p}\) , \(b = \dfrac{1}{q}\) とする. \(\dfrac{T}{S}\) の逆数 \(\dfrac{S}{T}\) が整数となるような \(p , q\) の組 \(( p , q )\) をすべて求めよ.
正八角形 \(\text{A}{} _ {1} \text{A}{} _ {2} \cdots \text{A}{} _ {8}\) について, 以下の問いに答えよ.
(1) \(3\) 個の頂点を結んでできる三角形のうち, 直角三角形であるものの個数を求めよ.
(2) \(3\) 個の頂点を結んでできる三角形のうち, 直角三角形でも二等辺三角形でもないものの個数を求めよ.
(3) \(4\) 個の頂点を結んでできる四角形のうち, 次の条件 (＊) を満たすものの個数を求めよ.
座標平面において, 次の条件 (＊) を満たす直線 \(\ell\) を考える.
その交点を \(x\) 座標が小さなものから順に P, Q, R とし, さらに線分 PQ の中点を S とする.
(1) 点 R の座標を \(( a , a^3 -2x )\) とするとき, 点 S の座標を求めよ.
(2) 直線 \(\ell\) が条件 (＊) を満たしながら動くとき, 点 S の軌跡を求めよ.
(3) 直線 \(\ell\) が条件 (＊) を満たしながら動くとき, 線分 PS が動いてできる領域の面積を求めよ.
\(z\) を複素数とする. 複素数平面上の \(3\) 点 O \(( 0 )\) , A \(( z )\) , B \(( z^2 )\) について, 以下の問いに答えよ.
(1) \(3\) 点 O, A, B が同一直線上にあるための \(z\) の必要十分条件を求めよ.
(2) \(3\) 点 O, A, B が二等辺三角形の頂点になるような \(z\) 全体を複素数平面上に図示せよ.
(3) \(3\) 点 O, A, B が二等辺三角形の頂点であり, かつ \(z\) の偏角 \(\theta\) が \(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{3}\) を満たすとき, 三角形 OAB の面積の最大値とそのときの \(z\) の値を求めよ.
以下の問いに答えよ.
(1) 正の実数 \(a\) と正の整数 \(n\) に対して次の等式が成り立つことを示せ. ただし, \(e\) は自然対数の底とする. \[ e^a = 1 +a +\dfrac{a^2}{2 !} +\cdots +\dfrac{a^n}{n !} +\displaystyle\int _ {0}^{a} \dfrac{(a-x)^n}{n !} e^x \, dx \]
(2) 正の実数 \(a\) と正の整数 \(n\) に対して次の不等式を示せ. \[ \dfrac{a^{n+1}}{(n+1) !} \leqq \displaystyle\int _ {0}^{a} \dfrac{(a-x)^n}{n !} e^x \, dx \leqq \dfrac{e^a a^{n+1}}{(n+1) !} \]
(3) 不等式 \[ \left| e -\left( 1 +1 +\dfrac{1}{2 !} +\cdots +\dfrac{1}{n !} \right) \right| \lt 10^{-3} \] を満たす最小の正の整数 \(n\) を求めよ. 必要ならば \(2 \lt e \lt 3\) であることは証明なしに用いてもよい.