次の問いに答えよ.
(1) \(c\) を正の定数とする. 正の実数 \(x , y\) が \(x+y = c\) をみたすとき, \[ \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \] の最小値を \(c\) を用いて表せ.
(2) 正の実数 \(x , y , z\) が \(x+y+z = 1\) をみたすとき, \[ \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \left( 1 -\dfrac{4}{3z} \right) \] の最大値を求めよ.
座標平面において, 原点 O を中心とする半径 \(r\) の円と放物線 \(y = \sqrt{2} (x-1)^2\) は, ただ \(1\) つの共有点 \(( a , b )\) をもつとする.
(1) \(a , b , r\) の値をそれぞれ求めよ.
(2) 連立不等式 \[ a \leqq x \leqq 1 , \quad 0 \leqq y \leqq \sqrt{2} (x-1)^2 , \quad x^2 +y^2 \geqq r^2 \] の表す領域を, \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の体積を求めよ.
正の整数 \(n\) に対して \[ S _ n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \dfrac{1}{k} \] とおき, \(1\) 以上 \(n\) 以下のすべての奇数の積を \(A _ n\) とする.
(1) \(\log _ 2 n\) 以下の最大の整数を \(N\) とするとき, \(2^N A _ n S _ n\) は奇数の整数であることを示せ.
(2) \(S _ n = 2 +\dfrac{m}{20}\) となる正の整数の組 \(( n , m )\) をすべて求めよ.
(3) 整数 \(a\) と \(0 \leqq b \lt 1\) をみたす実数 \(b\) を用いて, \[ A _ {20} S _ {20} = a+b \] と表すとき, \(b\) の値を求めよ.
円上の \(5\) 点 A, B, C, D, E は反時計回りにこの順に並び, 円周を \(5\) 等分している. \(5\) 点 A, B, C, D, E を頂点とする正五角形を \(\text{R} _ 1\) とする. \(\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{c}\) とおき, \(\overrightarrow{a}\) の大きさを \(x\) とする.
(1) \(\overrightarrow{\text{AC}}\) の大きさを \(y\) とするとき, \(x^2 = y (y-x)\) がなりたつことを示せ.
(2) \(\overrightarrow{\text{BC}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{c}\) を用いて表せ.
(3) \(\text{R} _ 1\) の対角線の交点として得られる \(\text{R} _ 1\) の内部の \(5\) つの点を頂点とする正五角形を \(\text{R} _ 2\) とする. \(\text{R} _ 2\) の一辺の長さを \(x\) を用いて表せ.
(4) \(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対して, \(\text{R} _ n\) の対角線の交点として得られる \(\text{R} _ n\) の内部の \(5\) つの点を頂点とする正五角形を \(\text{R} _ {n+1}\) とし, \(\text{R} _ n\) の面積を \(S _ n\) とする. \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{S _ 1} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} (-1)^{k+1} S _ k \] を求めよ.
\(a\) を正の定数とし, 放物線 \(y = \dfrac{x^2}{4}\) を \(C _ 1\) とする.
(1) 点 P が \(C _ 1\) 上を動くとき, P と点 Q \(\left( 2a , \dfrac{a^2}{4} -2 \right)\) の距離の最小値を求めよ.
(2) Q を中心とする円 \(( x -2a )^2 +\left( y -\dfrac{a^2}{4} +2 \right)^2 = 2 a^2\) を \(C _ 2\) とする. P が \(C _ 1\) 上を動き, 点 R が \(C _ 2\) 上を動くとき, P と R の距離の最小値を求めよ.
\(\triangle \text{ABC}\) を一辺の長さ \(6\) の正三角形とする. サイコロを \(3\) 回振り, 出た目を順に \(X , Y , Z\) とする. 出た目に応じて, 点 P, Q, R をそれぞれ線分 BC, CA, AB 上に \[ \overrightarrow{\text{BP}} = \dfrac{X}{6} \overrightarrow{\text{BC}} , \quad \overrightarrow{\text{CQ}} = \dfrac{Y}{6} \overrightarrow{\text{CA}} , \quad \overrightarrow{\text{AR}} = \dfrac{Z}{6} \overrightarrow{\text{AB}} \] をみたすように取る.
(1) \(\triangle \text{PQR}\) が正三角形になる確率を求めよ.
(2) 点 B, P, R を互いに線分で結んでできる図形を \(T _ 1\) , 点 C, Q, P を互いに線分で結んでできる図形を \(T _ 2\) , 点 A, R, Q を互いに線分で結んでできる図形を \(T _ 3\) とする. \(T _ 1 , T _ 2 , T _ 3\) のうち, ちょうど \(2\) つが正三角形になる確率を求めよ.
(3) \(\triangle \text{PQR}\) の面積を \(S\) とし, \(S\) のとりうる値の最小値を \(m\) とする. \(m\) の値および \(S = m\) となる確率を求めよ.
水平な平面 \(\alpha\) の上に半径 \(r _ 1\) の球 \(S _ 1\) と半径 \(r _ 2\) の球 \(S _ 2\) が乗っており, \(S _ 1\) と \(S _ 2\) は外接している.
(1) \(S _ 1 , S _ 2\) が \(\alpha\) と接する点をそれぞれ \(\text{P} _ 1 , \text{P} _ 2\) とする. 線分 \(\text{P} _ 1 \text{P} _ 2\) の長さを求めよ.
(2) \(\alpha\) の上に乗っており, \(S _ 1\) と \(S _ 2\) の両方に外接している球すべてを考える. それらの球と \(\alpha\) の接点は, \(1\) つの円の上または \(1\) つの直線上にあることを示せ.
\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする.
(1) \(n\) が素数または \(4\) のとき, \((n-1) !\) は \(n\) で割り切れないことを示せ.
(2) \(n\) が素数でなくかつ \(4\) でもないとき, \((n-1) !\) は \(n\) で割り切れることを示せ.