次のように媒介変数表示された \(xy\) 平面上の曲線を \(C\) とする: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 \cos t -\cos 3t \\ y = 3 \sin t -\sin 3t \end{array} \right. \] ただし, \(0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}\) である.
(1) \(\dfrac{dx}{dt}\) および \(\dfrac{dy}{dt}\) を計算し, \(C\) の概形を図示せよ.
(2) \(C\) が \(x\) 軸と \(y\) 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
(1) \(n\) を \(2\) 以上の自然数とするとき, 関数 \[ f _ n ( \theta ) = ( 1 +\cos \theta ) \sin^{n-1} \theta \] の \(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}\) における最大値 \(M _ n\) を求めよ.
(2) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( M _ n \right)^n\) を求めよ.
四面体 OABC が次の条件を満たすならば, それは正四面体であることを示せ.
ただし, 四面体のある頂点の対面とは, その頂点を除く他の \(3\) つの頂点がなす三角形のことである.
\(xyz\) 空間において, 平面 \(y=z\) の中で
\[
|x| \leqq \dfrac{e^y +e^{-y}}{2} -1 , \quad 0 \leqq y \leqq \log a
\]
で与えられる図形 \(D\) を考える. ただし \(a\) は \(1\) より大きい定数とする.
この図形 \(D\) を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ.
\(xy\) 平面上の \(6\) 個の点 \(( 0, 0 ) , ( 0, 1 ) , ( 1, 0 ) , ( 1, 1 ) , ( 2, 0 ) , ( 2, 1 )\) が図のように長さ \(1\) の線分で結ばれている. 動点 X は, これらの点の上を次の規則に従って \(1\) 秒ごとに移動する.
例えば, X が \(( 2, 0 )\) にいるときは, \(( 1, 0 ) , ( 2, 1 )\) のいずれかに \(\dfrac{1}{2}\) の確率で移動する. また X が \(( 1, 1 )\) にいるときは, \(( 0, 1 ) , ( 1, 0 ) , ( 2, 1 )\) のいずれかに \(\dfrac{1}{3}\) の確率で移動する.
時刻 \(0\) で動点 X が \(\text{O} = ( 0, 0 )\) から出発するとき, \(n\) 秒後に X の \(x\) 座標が \(0\) である確率を求めよ. ただし \(n\) は \(0\) 以上の整数とする.
複素数を係数とする \(2\) 次式 \(f(x) = x^2 +ax +b\) に対し, 次の条件を考える.
(イ) \(f( x^3 )\) は \(f(x)\) で割り切れる.
(ロ) \(f(x)\) の係数 \(a , b\) の少なくとも一方は虚数である.
この \(2\) つの条件 (イ), (ロ) を同時に満たす \(2\) 次式をすべて求めよ.
\(e\) を自然対数の底, すなわち \(e = \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \left( 1 +\dfrac{1}{t} \right)^t\) とする. すべての正の実数 \(x\) に対し, 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right)^x \lt e \lt \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right)^{x +\frac{1}{2}} \]