\(t = \sin \theta +\cos \theta\) とし, \(\theta\) は \(-\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) の範囲を動くものとする.
(1) \(t\) のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) \(\sin^3 \theta +\cos^3 \theta\) と \(\cos 4 \theta\) を, それぞれ \(t\) を用いて表せ.
(3) \(\sin^3 \theta +\cos^3 \theta = \cos 4 \theta\) であるとき, \(t\) の値をすべて求めよ.
O を原点とする座標空間において, \(3\) 点 A \(( -2 , 0 , 0 )\) , B \(( 0 , 1 , 0 )\) , C \(( 0 , 0 , 1 )\) を通る平面を \(\alpha\) とする. \(2\) 点 P \(( 0 , 5 , 5 )\) , Q \(( 1 , 1 , 1 )\) をとる. 点 P を通り \(\overrightarrow{\text{OQ}}\) に平行な直線を \(\ell\) とする. 直線 \(\ell\) 上の点 R から平面 \(\alpha\) に下した垂線と \(\alpha\) の交点を S とする. \(\overrightarrow{\text{OR}} = \overrightarrow{\text{OP}} +k \overrightarrow{\text{OQ}}\) （ただし \(k\) は実数）とおくとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(k\) を用いて, \(\overrightarrow{\text{AS}}\) を成分で表せ.
(2) 点 S が \(\triangle \text{ABC}\) の内部または周にあるような \(k\) の値の範囲を求めよ.
\(p , q\) を定数とし, \(0 \lt p \lt 1\) とする. \[\begin{align} \text{曲線} \ C_1 \ & : \ y = p x^{\frac{1}{p}} \quad ( x \gt 0 ) \quad \text{と, } \\ \text{曲線} \ C_2 \ & : \ y = \log x +q \quad ( x \gt 0 ) \end{align}\] が, ある \(1\) 点 \(( a , b )\) において同じ直線に接するとする. 曲線 \(C_1\) , 直線 \(x = a\) , 直線 \(x = e^{-q}\) および \(x\) 軸で囲まれた図形の面積を \(S_1\) とする. また, 曲線 \(C_2\) , 直線 \(x = a\) および \(x\) 軸で囲まれた図形の面積を \(S_2\) とする.
(1) \(q\) を \(p\) を用いて表せ.
(2) \(S_1 , S_2\) を \(p\) を用いて表せ.
(3) \(\dfrac{S_2}{S_1} \geqq \dfrac{3}{4}\) であることを示せ. ただし, \(2.5 \lt e \lt 3\) を用いてよい.
O を原点とする \(xy\) 平面において, 点 A \(( -1 , 0 )\) と点 B \(( 2 , 0 )\) をとる. 円 \(x^2 +y^2 = 1\) の, \(x \geqq 0\) かつ \(y \geqq 0\) を満たす部分を \(C\) とし, また点 B を通り \(y\) 軸に平行な直線を \(\ell\) とする. \(2\) 以上の整数 \(n\) に対し, 曲線 \(C\) 上に点 P, Q を \[ \angle \text{POB} = \dfrac{\pi}{n} \ , \ \angle \text{QOB} = \dfrac{\pi}{2n} \] を満たすようにとる. 直線 AP と直線 \(\ell\) の交点を V とし, 直線 AQ と直線 \(\ell\) の交点を W とする. 線分 AP, 線分 AQ および曲線 \(C\) で囲まれた図形の面積を \(S(n)\) とする. また線分 PV, 線分 QW, 曲線 \(C\) および線分 VW で囲まれた図形の面積を \(T(n)\) とする.
(1) \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} n \{ S(n) +T(n) \}\) を求めよ.
(2) \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{T(n)}{S(n)}\) を求めよ.
\(i\) を虚数単位とする. 複素数平面において, 複素数 \(z\) の表す点 P を P \((z)\) または点 \(z\) と書く. \(\omega = -\dfrac{1}{2} +\dfrac{\sqrt{3}}{2} i\) とおき, \(3\) 点 A \((1)\) , B \(( \omega )\) , C \(( \omega^2 )\) を頂点とする \(\triangle \text{ABC}\) を考える.
(1) \(\triangle \text{ABC}\) は正三角形であることを示せ.
(2) 点 \(z\) が辺 AC 上を動くとき, 点 \(-z\) が描く図形を複素数平面上に図示せよ.
(3) 点 \(z\) が辺 AB 上を動くとき, 点 \(z^2\) が描く図形を \(E_1\) とする. また, 点 \(z\) が辺 AC 上を動くとき, 点 \(z^2\) が描く図形を \(E_2\) とする. \(E_1\) と \(E_2\) の共有点をすべて求めよ.
\(a , b\) を \(0 \lt a \lt 1\) , \(0 \lt b \lt 1\) を満たす実数とする. 平面上の三角形 ABC を考え, 辺 AB を \(a : 1-a\) に内分する点を P , 辺 BC を \(b : 1-b\) に内分する点を Q , 辺 CA の中点を R とし, 三角形 ABC の面積を \(S\) , 三角形 PQR の面積を \(T\) とする.
(1) \(\dfrac{T}{S}\) を \(a , b\) で表せ.
(2) \(a , b\) が \(0 \lt a \lt \dfrac{1}{2}\) , \(0 \lt b \lt \dfrac{1}{2}\) の範囲を動くとき, \(\dfrac{T}{S}\) がとりうる値の範囲を求めよ.
(3) \(p , q\) を \(3\) 以上の整数とし, \(a = \dfrac{1}{p}\) , \(b = \dfrac{1}{q}\) とする. \(\dfrac{T}{S}\) の逆数 \(\dfrac{S}{T}\) が整数となるような \(p , q\) の組 \(( p , q )\) をすべて求めよ.
正八角形 \(\text{A}{} _ {1} \text{A}{} _ {2} \cdots \text{A}{} _ {8}\) について, 以下の問いに答えよ.
(1) \(3\) 個の頂点を結んでできる三角形のうち, 直角三角形であるものの個数を求めよ.
(2) \(3\) 個の頂点を結んでできる三角形のうち, 直角三角形でも二等辺三角形でもないものの個数を求めよ.
(3) \(4\) 個の頂点を結んでできる四角形のうち, 次の条件 (＊) を満たすものの個数を求めよ.