数列 \(\{ a _ n \}, \{ b _ n \}, \{ c _ n \}\) を \[\begin{align} a _ 1 & = 2 , \ a _ {n+1} = 4 a _ n \ . \\ b _ 1 & = 3 , \ b _ {n+1} = b _ n +2 a _ n \ . \\ c _ 1 & = 4 , \ c _ {n+1} = \dfrac{c _ n}{4} +a _ n +b _ n \end{align}\] と順に定める. 放物線 \(y = a _ n x^2 +2 b _ n x +c _ n\) を \(H _ n\) とする.
(1) \(H _ n\) は \(x\) 軸と \(2\) 点で交わることを示せ.
(2) \(H _ n\) と \(x\) 軸との交点を \(\text{P}{} _ n , \text{Q}{} _ n\) とする. \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \text{P}{} _ n \text{Q}{} _ n\) を求めよ.
放物線 \(y=ax^2+bx \ ( a \gt 0 )\) を \(C\) とする. \(C\) 上に異なる \(2\) 点 P , Q をとり, その \(x\) 座標をそれぞれ \(p , q \ ( 0 \lt p \lt q )\) とする.
(1) 線分 OQ と \(C\) で囲まれた部分の面積が, △OPQ の面積の \(\dfrac{3}{2}\) 倍であるとき, \(p\) と \(q\) の関係を求めよ. ただし, O は原点を表す.
(2) Q を固定して P を動かす. △OPQ の面積が最大となるときの \(p\) を \(q\) で表せ. また, そのときの △OPQ の面積と, 線分 OQ と \(C\) で囲まれた部分の面積との比を求めよ.
\(a\) を定数とし, \(f(x) = x^3-3ax^2+a\) とする. \(x \leqq 2\) の範囲で \(f(x)\) の最大値が \(105\) となるような \(a\) をすべて求めよ.
\(1\) が書かれたカードが \(1\) 枚, \(2\) が書かれたカードが \(1\) 枚, …, \(n\) が書かれたカードが \(1\) 枚の全部で \(n\) 枚のカードからなる組がある. この組から \(1\) 枚を抜き出し元にもどす操作を \(3\) 回行う. 抜き出したカードに書かれた数を \(a , b , c\) とするとき, 得点 \(X\) を次の規則 (i) , (ii) に従って定める.
(i) \(a , b , c\) がすべて異なるとき, \(X\) は \(a , b , c\) のうちの最大でも最小でもない値とする.
(ii) \(a , b , c\) のうちに重複しているものがあるとき, \(X\) はその重複した値とする.
\(1 \leqq k \leqq n\) をみたす \(k\) に対して, \(X = k\) となる確率を \(p _ k\) とする.
(1) \(p _ k\) を \(n\) と \(k\) で表せ.
(2) \(p _ k\) が最大となる \(k\) を \(n\) で表せ.
次の定積分を求めよ.
(1) \(\displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{dx}{1 +\sin x}\)
(2) \(\displaystyle\int _ {\frac{4}{3}}^{2} \dfrac{dx}{x^2 \sqrt{x-1}}\)
\(xy\) 平面上に, 直線 \(\ell : \ \dfrac{x}{a} +\dfrac{y}{b} = 1\) がある. ただし, \(a , b\) は正の定数である. 曲線 \(C : \ \dfrac{x^2}{u^2} +\dfrac{y^2}{v^2} = 1\) がつねに \(\ell\) に接しているように正の実数 \(u , v\) を変化させる. \(C\) で囲まれる部分を \(x\) 軸の周りに回転してできる立体の体積を \(V\) とする. 次の問いに答えよ.
(1) \(v^2\) を \(a , b , u\) を用いて表せ.
(2) \(V\) の最大値を, \(a , b\) を用いて表せ. また, そのときの \(C\) の方程式を \(a , b\) を用いて表せ.
\(xy\) 平面上に, \(b \lt a^2\) をみたす点 A \((a,b)\) がある. 曲線 \(C : \ y = x^2\) 上に点 P をとり, 線分 AP を \(k : k-1 \ ( k \gt 1 )\) に外分する点を Q とする. P が \(C\) 上を動くときにできる Q の軌跡を \(C'\) とする. 次の問いに答えよ.
(1) \(C'\) の方程式を求めよ.
(2) \(C\) と \(C'\) は \(2\) つの点で交わることを示し, \(C\) と \(C'\) で囲まれる部分の面積を求めよ.
\(a , b\) は実数とする. 関数 \(f(x) = x^3+3ax^2+3bx\) が極大値と極小値をもつ. 次の問いに答えよ.
(1) 極大値が正で, 極小値が負で, かつ極大値と極小値の和が負となる点 \((a,b)\) の範囲を図示せよ.
(2) 極大値が \(1\) で, 極小値が \(-1\) であるような点 \((a,b)\) をすべて求めよ.