\(-\dfrac{1}{4} \lt s \lt \dfrac{1}{3}\) とする. \(xyz\) 空間内の平面 \(z = 0\) の上に長方形 \[ R _ s = \left\{ ( x , y , 0 ) | 1 \leqq x \leqq 2+4s , 1 \leqq y \leqq 2-3s \right\} \] がある. 長方形 \(R _ s\) を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を \(K _ s\) とする.
(1) 立体 \(K _ s\) の体積 \(V(s)\) が最大となるときの \(s\) の値, およびそのときの \(V(s)\) の値を求めよ.
(2) \(s\) を (1) で求めた値とする. このときの立体 \(K _ s\) を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体 \(L\) の体積を求めよ.
\(A _ 0 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\) とする. 整数 \(n \geqq 1\) に対して, 次の試行により行列 \(A _ {n-1}\) から行列 \(A _ n\) を定める.
この試行を \(n\) 回（ \(n = 2 , 3 , 4 , \cdots\) ）くり返した後に, \(A _ 0 , A _ 1 , \cdots , A _ {n-1}\) が逆行列をもたず \(A _ n\) は逆行列をもつ確率を \(p _ n\) とする.
(1) \(p _ 2\) , \(p _ 3\) を求めよ.
(2) \((n-1)\) 回（ \(n = 2 , 3 , 4 , \cdots\) ）の試行をくり返した後に, \(A _ {n-1}\) の第 \(1\) 行の成分がいずれも正で第 \(2\) 行の成分はいずれも \(0\) である確率 \(p _ {n-1}\) を求めよ.
(3) \(p _ n\) （ \(n = 2 , 3 , 4 , \cdots\) ）を求めよ.
\(xy\) 平面上に \(3\) 点 O \(( 0 , 0 )\) , A \(( 1 , 0 )\) , B \(( 0 , 1 )\) がある.
(1) \(a \gt 0\) とする. \(\text{OP} : \text{AP} = 1 : a\) を満たす点Pの軌跡を求めよ.
(2) \(a \gt 0 , \ b \gt 0\) とする. \(\text{OP} : \text{AP} : \text{BP} = 1 : a : b\) を満たす点 P が存在するための \(a , b\) に対する条件を求め, \(ab\) 平面上に図示せよ.
\(a , b\) は \(a \geqq b \gt 0\) を満たす整数とし, \(x\) と \(y\) の \(2\) 次方程式 \(x^2+ax+b = 0\) , \(y^2+by+a = 0\) がそれぞれ整数解をもつとする.
(1) \(a = b\) とするとき, 条件を満たす整数 \(a\) をすべて求めよ.
(2) \(a \gt b\) とするとき, 条件を満たす整数の組 \(( a , b )\) をすべて求めよ.
ある硬貨を投げたとき, 表と裏がそれぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で出るとする. この硬貨を投げる操作を繰り返し行い, \(3\) 回続けて表が出たときこの操作を終了する. 自然数 \(n\) に対し,
操作がちょうど \(n\) 回目で終了となる確率を \(P _ n\)
操作が \(n\) 回以上繰り返される確率を \(Q _ n\)
とする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(P _ 3 , P _ 4 , P _ 5 , P _ 6 , P _ 7\) をそれぞれ求めよ.
(2) \(Q _ 6 , Q _ 7\) をそれぞれ求めよ.
(3) \(n \geqq 5\) のとき, \(Q _ n -Q _ {n-1}\) を \(Q _ {n-4}\) を用いて表せ.
(4) \(n \geqq 4\) のとき, \(Q _ n \lt \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}}\) が成り立つことを示せ.
座標平面において, 原点を O とし, 次のような3点 P , Q , R を考える.
(a) 点 P は \(x\) 軸上にあり, その \(x\) 座標は正である.
(b) 点 Q は第 \(1\) 象限にあって, \(\text{OQ} = \text{QP} = 1\) を満たす.
(c) 点 R は第 \(1\) 象限にあって, \(\text{OR} +\text{RP} = 2\) を満たし, かつ線分 RP が \(x\) 軸に垂直となる.
ただし, 座標軸は第 \(1\) 象限に含めないものとする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) 上の条件を満たす \(2\) 点 Q , R が存在するような, 点 P の \(x\) 座標が取りうる値の範囲を求めよ.
(2) (1) の範囲を点 P が動くとき, 線分 QR が通過する領域を図示し, その面積を求めよ.
(3) 線分 OP の中点を M とする. (1) の範囲を点 P が動くとき, 四角形 MPRQ の面積を最大にする点 P の \(x\) 座標を求めよ.
自然数 \(n\) に対し \[\begin{align} S _ n & = \displaystyle\int _ 0^1 \dfrac{1 -(-x)^n}{1+x} \, dx \\ T _ n & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1}}{k( k+1 )} \end{align}\] とおく. このとき以下の各問いに答えよ.
(2) \(T _ n -2S _ n\) を \(n\) を用いて表せ.
(3) 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} T _ n\) を求めよ.
\(n\) を自然数とする. \(xy\) 平面上で行列 \(\left( \begin{array}{cc} 1-n & 1 \\ -n( n+1 ) & n+2 \end{array} \right)\) の表す \(1\) 次変換（移動ともいう）を \(f _ n\) とする. 次の問に答えよ.
(1) 原点 O \(( 0 , 0 )\) を通る直線で, その直線上のすべての点が \(f _ n\) により同じ直線上に移されるものが \(2\) 本あることを示し, この \(2\) 直線の方程式を求めよ.
(2) (1) で得られた \(2\) 直線と曲線 \(y = x^2\) によって囲まれる図形の面積 \(S _ n\) を求めよ.
(3) \(\textstyle\sum\limits _ {n=1}^{\infty} \dfrac{1}{S _ n -\frac{1}{6}}\) を求めよ.