\(z\) を複素数とする. 複素数平面上の \(3\) 点 O \(( 0 )\) , A \(( z )\) , B \(( z^2 )\) について, 以下の問いに答えよ.
(1) \(3\) 点 O, A, B が同一直線上にあるための \(z\) の必要十分条件を求めよ.
(2) \(3\) 点 O, A, B が二等辺三角形の頂点になるような \(z\) 全体を複素数平面上に図示せよ.
(3) \(3\) 点 O, A, B が二等辺三角形の頂点であり, かつ \(z\) の偏角 \(\theta\) が \(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{3}\) を満たすとき, 三角形 OAB の面積の最大値とそのときの \(z\) の値を求めよ.
以下の問いに答えよ.
(1) 正の実数 \(a\) と正の整数 \(n\) に対して次の等式が成り立つことを示せ. ただし, \(e\) は自然対数の底とする. \[ e^a = 1 +a +\dfrac{a^2}{2 !} +\cdots +\dfrac{a^n}{n !} +\displaystyle\int _ {0}^{a} \dfrac{(a-x)^n}{n !} e^x \, dx \]
(2) 正の実数 \(a\) と正の整数 \(n\) に対して次の不等式を示せ. \[ \dfrac{a^{n+1}}{(n+1) !} \leqq \displaystyle\int _ {0}^{a} \dfrac{(a-x)^n}{n !} e^x \, dx \leqq \dfrac{e^a a^{n+1}}{(n+1) !} \]
(3) 不等式 \[ \left| e -\left( 1 +1 +\dfrac{1}{2 !} +\cdots +\dfrac{1}{n !} \right) \right| \lt 10^{-3} \] を満たす最小の正の整数 \(n\) を求めよ. 必要ならば \(2 \lt e \lt 3\) であることは証明なしに用いてもよい.
\(0\) から \(9\) までの相異なる整数が \(1\) つずつ書かれた \(10\) 個の球が, 袋の中に入っている. この袋から球を無作為に \(1\) 個取り出してはもとにもどす操作を \(3\) 回繰り返したとき, 取り出した球に書かれている数を順に \(a_1 , a_2 , a_3\) とする. また \(b_1 = 10 +a_1\) , \(b_2 = 20 +a_2\) , \(b_3 = 30 +a_3\) とおき, \(b_1 , b_2 , b_3 , b_1 +b_2 +b_3\) の \(1\) の位を四捨五入してえられる数をそれぞれ \(c_1 , c_2 , c_3 , c_4\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(b_1 +b_2 +b_3 = 70\) となる確率を求めよ.
(2) \(c_4 = 90\) となる確率を求めよ.
(3) \(c_1 = 20\) かつ \(c_1 +c_2 +c_3 \gt c_4\) となる確率を求めよ.
\(a , h\) を正の実数とし, \(xyz\) 空間の \(5\) 点 A \(( a , a , 0 )\) , B \(( -a , a , 0 )\) , C \(( -a , -a , 0 )\) , D \(( a , -a , 0 )\) , E \(( 0 , 0 , h )\) を頂点とする四角錐を \(P\) とする. \(P\) の \(yz\) 平面による断面の周の長さが \(1\) であるとき, 以下の各問いに答えよ.
(1) \(h\) を \(a\) の式で表せ. また, \(a\) が取り得る値の範囲を求めよ.
(2) 球 \(S\) は \(P\) のすべての面に接しているとする. \(a\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(S\) の体積が最大となる \(a\) の値を求めよ.
(3) 直方体 \(Q\) は \(1\) つの面が \(xy\) 平面上にあり, すべての頂点が \(P\) の辺上または面上にあるとする. \(a\) を固定したとき, \(Q\) の体積が取り得る値の最大値を \(V(a)\) とおく. \(a\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(V(a)\) の最大値を求めよ.
\(a , b\) を正の実数とし, 曲線 \(C : y = b \sqrt{1 +\dfrac{x^2}{a^2}}\) を考える. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(u\) を実数とし, \(C\) 上の点\(\left( u , b \sqrt{1 +\dfrac{u^2}{a^2}} \right)\) における接線の方程式を, \(a , b , u\) を用いて表せ.
(2) \(C\) 上の異なる \(2\) 点における接線の交点の全体からなる領域を図示せよ.
(3) (2) の領域にある点 \(( p , q )\) について, 点 \(( p , q )\) を通る \(C\) の接線の接点をすべて通る直線の方程式を, \(a , b , p , q\) を用いて表せ.
\(a\) を正の実数とする. 放物線 \(y = x^2\) を \(C_1\) , 放物線 \(y = -x^2 +4ax -4 a^2 +4 a^4\) を \(C_2\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) 点 \(( t , t^2 )\) における \(C_1\) の接線の方程式を求めよ.
(2) \(C_1\) と \(C_2\) が異なる \(2\) つの共通接線 \(\ell , \ell '\) を持つような \(a\) の範囲を求めよ. ただし, \(C_1\) と \(C_2\) の共通接線とは, \(C_1\) と \(C_2\) の両方に接する直線のことである.
以下, \(a\) は (2) で求めた範囲にあるとし, \(\ell , \ell '\) を \(C_1\) と \(C_2\) の異なる \(2\) つの共通接線とする.
(3) \(\ell , \ell '\) の交点の座標を求めよ.
(4) \(C_1\) と \(\ell , \ell '\) で囲まれた領域を \(D_1\) とし, 不等式 \(x \leqq a\) の表す領域を \(D_2\) とする. \(D_1\) と \(D_2\) の共通部分の面積 \(S(a)\) を求めよ.
(5) \(S(a)\) を (4) の通りとする. \(a\) が (2) で求めた範囲を動くとき, \(S(a)\) の最大値を求めよ.
\(4\) つの実数を \(\alpha = \log_2 3\) , \(\beta = \log _3 5\) , \(\gamma = \log _5 2\) , \(\delta = \dfrac{3}{2}\) とおく. 以下の問に答えよ.
(1) \(\alpha \beta \gamma = 1\) を示せ.
(2) \(\alpha , \beta , \gamma , \delta\) を小さい順に並べよ.
(3) \(p = \alpha +\beta +\gamma\) , \(q = \dfrac{1}{\alpha} +\dfrac{1}{\beta} +\dfrac{1}{\gamma}\) とし, \(f(x) = x^3 +p x^2 +q x +1\) とする. このとき \(f \left( -\dfrac{1}{2} \right)\) , \(f( -1 )\) および \(f \left( -\dfrac{3}{2} \right)\) の正負を判定せよ.
\(1\) から \(12\) までの数字が下図のように並べて書かれている. 以下のルール (a) , (b) と (終了条件) を用いたゲームを行う, ゲームを開始すると最初に (a) を行い, (終了条件) が満たされたならゲームを終了する. そうでなければ (終了条件) が満たされるまで (b) の操作を繰り返す. ただし, (a) と (b) における数字を選ぶ操作はすべて独立な試行とする.
(a) \(1\) から \(12\) までの数字のどれか \(1\) つを等しい確率で選び, 下の図において選んだ数字を丸で囲み, その上に石を置く.
(b) 石が置かれた位置の水平右側または垂直下側の位置にある数字のどれか \(1\) つを等しい確率で選び, その数字を丸で囲み, そこに石を移して置く. 例えば, 石が \(6\) の位置に置かれているときは, その水平右側または垂直下側の位置にある数字 \(7, 8, 9, 10, 12\) のどれか \(1\) つの数字を等しい確率で選び, その数字を丸で囲み, そこに石を移して置く.
(終了条件) \(5, 9, 11, 12\) の数字のどれか \(1\) つが丸で囲まれ石が置かれている.
ゲームの終了時に数字 \(j\) が丸で囲まれている確率を \(p_j\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) 確率 \(p_2\) を求めよ.
(2) 確率 \(p_5\) と \(p_{11}\) を求めよ.
(3) 確率 \(p_5 , p_9 , p_{11} , p_{12}\) のうち最も大きいものの値を求めよ.