原点を O とする \(xy\) 平面上に, 放物線 \(C\) ： \(y = 1-x^2\) がある. \(C\) 上に \(2\) 点 P \(( p , 1-p^2 )\) , Q \(( q , 1-q^2 )\) を \(p \lt q\) となるようにとる.
(1) \(2\) つの線分 OP , OQ と放物線 \(C\) で囲まれた部分の面積 \(S\) を, \(p\) と \(q\) の式で表せ.
(2) \(q = p+1\) であるとき \(S\) の最小値を求めよ.
(3) \(pq = -1\) であるとき \(S\) の最小値を求めよ.
\(t\) を正の定数とする. 原点を O とする空間内に, \(2\) 点 A \(( 2t , 2t , 0 )\) , B \(( 0 , 0 , t )\) がある. また動点 P は \[ \overrightarrow{\text{OP}} \cdot \overrightarrow{\text{AP}} +\overrightarrow{\text{OP}} \cdot \overrightarrow{\text{BP}} +\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{\text{BP}} = 3 \] を満たすように動く. OP の最大値が \(3\) となるような \(t\) の値を求めよ.
サイコロを \(n\) 回投げ, \(k\) 回目に出た目を \(a _ k\) とする. また, \(s _ n\) を \(s _ n = \sum\limits _ {k=1}^{n} 10^{n-k} a _ k\) で定める.
(1) \(s _ n\) が \(4\) で割り切れる確率を求めよ.
(2) \(s _ n\) が \(6\) で割り切れる確率を求めよ.
(3) \(s _ n\) が \(7\) で割り切れる確率を求めよ.
\(m\) を整数とし, \(f(x) = x^3+8x^2+mx+60\) とする.
(1) 整数 \(a\) と, \(0\) ではない整数 \(b\) で, \(f(a+bi) = 0\) をみたすものが存在するような \(m\) をすべて求めよ. ただし, \(i\) は虚数単位である.
(2) (1) で求めたすべての \(m\) に対して, 方程式 \(f(x) = 0\) を解け.
数列 \(\{ a _ n \}, \{ b _ n \}, \{ c _ n \}\) を \[\begin{align} a _ 1 & = 2 , \ a _ {n+1} = 4 a _ n \ . \\ b _ 1 & = 3 , \ b _ {n+1} = b _ n +2 a _ n \ . \\ c _ 1 & = 4 , \ c _ {n+1} = \dfrac{c _ n}{4} +a _ n +b _ n \end{align}\] と順に定める. 放物線 \(y = a _ n x^2 +2 b _ n x +c _ n\) を \(H _ n\) とする.
(1) \(H _ n\) は \(x\) 軸と \(2\) 点で交わることを示せ.
(2) \(H _ n\) と \(x\) 軸との交点を \(\text{P}{} _ n , \text{Q}{} _ n\) とする. \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \text{P}{} _ n \text{Q}{} _ n\) を求めよ.
放物線 \(y=ax^2+bx \ ( a \gt 0 )\) を \(C\) とする. \(C\) 上に異なる \(2\) 点 P , Q をとり, その \(x\) 座標をそれぞれ \(p , q \ ( 0 \lt p \lt q )\) とする.
(1) 線分 OQ と \(C\) で囲まれた部分の面積が, △OPQ の面積の \(\dfrac{3}{2}\) 倍であるとき, \(p\) と \(q\) の関係を求めよ. ただし, O は原点を表す.
(2) Q を固定して P を動かす. △OPQ の面積が最大となるときの \(p\) を \(q\) で表せ. また, そのときの △OPQ の面積と, 線分 OQ と \(C\) で囲まれた部分の面積との比を求めよ.
\(a\) を定数とし, \(f(x) = x^3-3ax^2+a\) とする. \(x \leqq 2\) の範囲で \(f(x)\) の最大値が \(105\) となるような \(a\) をすべて求めよ.
\(1\) が書かれたカードが \(1\) 枚, \(2\) が書かれたカードが \(1\) 枚, …, \(n\) が書かれたカードが \(1\) 枚の全部で \(n\) 枚のカードからなる組がある. この組から \(1\) 枚を抜き出し元にもどす操作を \(3\) 回行う. 抜き出したカードに書かれた数を \(a , b , c\) とするとき, 得点 \(X\) を次の規則 (i) , (ii) に従って定める.
(i) \(a , b , c\) がすべて異なるとき, \(X\) は \(a , b , c\) のうちの最大でも最小でもない値とする.
(ii) \(a , b , c\) のうちに重複しているものがあるとき, \(X\) はその重複した値とする.
\(1 \leqq k \leqq n\) をみたす \(k\) に対して, \(X = k\) となる確率を \(p _ k\) とする.
(1) \(p _ k\) を \(n\) と \(k\) で表せ.
(2) \(p _ k\) が最大となる \(k\) を \(n\) で表せ.