次の各問に答えよ.

1. 問 1　\(xyz\) 空間の \(3\) 点 A \(( 1 , 0 , 0 )\) , B \(( 0 , -1 , 0 )\) , C \(( 0 , 0 , 2 )\) , を通る平面 \(\alpha\) に関して点 P \(( 1, 1, 1 )\) と対称な点 Q の座標を求めよ. ただし, 点 Q が平面 \(\alpha\) に関して P と対称であるとは, 線分 PQ の中点 M が平面 \(\alpha\) 上にあり, 直線 PM が P から平面 \(\alpha\) に下ろした垂線となることである.

2. 問 2　赤玉, 白玉, 青玉, 黄玉が \(1\) 個ずつ入った袋がある. よくかきまぜた後に袋から玉を \(1\) 個取り出し, その玉の色を記録してから袋に戻す. この試行を繰り返すとき, \(n\) 回目の試行で初めて赤玉が取り出されて \(4\) 種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ. ただし, \(n\) は \(4\) 以上の整数とする.

曲線 \(y = \dfrac{1}{2} ( x^2 +1 )\) 上の点 P における接線は \(x\) 軸と交わるとし, その交点を Q とおく. 線分 PQ の長さを \(L\) とするとき, \(L\) が取りうる値の最小値を求めよ.

無限級数 \(\textstyle\sum\limits _ {n=0}^{\infty} \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \cos \dfrac{n \pi}{6}\) の和を求めよ.

曲線 \(y = \log ( 1 +\cos x )\) の \(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) の部分の長さを求めよ.

\(xy\) 平面において, \(2\) 点 B \(( -\sqrt{3} , -1 )\) , C \(( \sqrt{3} , -1 )\) に対し, 点 A は次の条件 (＊) を満たすとする.

1. (＊)　\(\angle \text{BAC} = \dfrac{\pi}{3}\) かつ点 A の \(y\) 座標は正.

　次の各問に答えよ.

1. (1)　\(\triangle \text{ABC}\) の外心の座標を求めよ.

2. (2)　点 A が条件 (＊) を満たしながら動くとき, \(\triangle \text{ABC}\) の垂心の軌跡を求めよ.

次の各問に答えよ.

1. 問 1　\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(3^n -2^n\) が素数ならば \(n\) も素数であることを示せ.

2. 問 2　\(a\) を \(1\) より大きい定数とする. 微分可能な関数 \(f(x)\) が \(f(a) = a f(1)\) を満たすとき, 曲線 \(y = f(x)\) の接線で原点 \(( 0 , 0 )\) を通るものが存在することを示せ.

1. (1)　\(n\) を \(2\) 以上の自然数とするとき, 関数 \[ f _ n ( \theta ) = ( 1 +\cos \theta ) \sin^{n-1} \theta \] の \(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}\) における最大値 \(M _ n\) を求めよ.

2. (2)　\(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( M _ n \right)^n\) を求めよ.

素数 \(p , q\) を用いて \[ p^q +q^p \] と表される素数をすべて求めよ.