関数 \(f(x)\) と \(g( \theta )\) を \[\begin{align} f(x) & = \displaystyle\int _ {-1}^x \sqrt{1-t^2} \, dt \quad ( -1 \leqq x \leqq 1 ) , \\ g( \theta ) & = f( \cos \theta ) -f( \sin \theta ) \quad ( 0 \leqq \theta \leqq 2\pi ) \end{align}\] で定める.

1. (1)　導関数 \(g'( \theta )\) を求めよ.

2. (2)　\(g( \theta )\) を求めよ.

3. (3)　\(y = g( \theta )\) のグラフをかけ.

行列 \(A = \dfrac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{array} \right)\) に対して, 座標空間の点 \(\text{P} _ n\) の座標 \(( a _ n , b _ n , c _ n ) \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を, \(( a _ 1 , b _ 1 , c _ 1 ) = ( 1, 0, 0 )\) . \[ \left( \begin{array}{c} a _ {n+1} \\ b _ {n+1} \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} a _ n \\ b _ n \end{array} \right) , \ c _ {n+1} = c _ n +\sqrt{a _ n b _ n} \quad ( n= 1, 2, 3, \cdots ) \] で定める.

1. (1)　\(A^3\) を求めよ.

2. (2)　点 \(\text{P} _ 2 , \text{P} _ 3 , \text{P} _ 4\) の座標を求めよ.

3. (3)　点 \(\text{P} _ n\) の座標を求めよ.

さいころを投げると, \(1\) から \(6\) までの整数の目が等しい確率で出るとする. さいころを \(n\) 回（ \(n=1, 2, 3, \cdots\) ）投げるとき, 出る目の積の一の位が \(j \ ( j = 0, 1, 2, \cdots , 9 )\) となる確率を \(p _ n(j)\) とする.

1. (1)　\(p _ 2(0) , p _ 2(1) , p _ 2(2)\) を求めよ.

2. (2)　\(p _ {n+1}(1)\) を, \(p _ n(1)\) と \(p _ n(7)\) を用いて表せ.

3. (3)　\(p _ n(1)+p _ n(3)+p _ n(7)+p _ n(9)\) を求めよ.

4. (4)　\(p _ n(5)\) を求めよ.

\(x , y\) を正の整数とする.

1. (1)　\(\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{4}\) をみたす組 \((x, y)\) をすべて求めよ.

2. (2)　\(p\) を \(3\) 以上の素数とする. \(\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{p}\) をみたす組 \((x, y)\) のうち, \(2x+3y\) を最小にする \((x, y)\) を求めよ.

\(-\dfrac{1}{4} \lt s \lt \dfrac{1}{3}\) とする. \(xyz\) 空間内の平面 \(z = 0\) の上に長方形 \[ R _ s = \left\{ ( x , y , 0 ) | 1 \leqq x \leqq 2+4s , 1 \leqq y \leqq 2-3s \right\} \] がある. 長方形 \(R _ s\) を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を \(K _ s\) とする.

1. (1)　立体 \(K _ s\) の体積 \(V(s)\) が最大となるときの \(s\) の値, およびそのときの \(V(s)\) の値を求めよ.

2. (2)　\(s\) を (1) で求めた値とする. このときの立体 \(K _ s\) を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体 \(L\) の体積を求めよ.

\(A _ 0 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\) とする. 整数 \(n \geqq 1\) に対して, 次の試行により行列 \(A _ {n-1}\) から行列 \(A _ n\) を定める.

1. 「　数字の組 \(( 1 , 1 )\) , \(( 1 , 2 )\) , \(( 2 , 1 )\) , \(( 2 , 2 )\) を \(1\) つずつ書いた \(4\) 枚の札が入っている袋から \(1\) 枚を取り出し, その札に書かれている数字の組が \(( i , j )\) のとき, \(A _ {n-1}\) の \(( i , j )\) 成分に \(1\) を加えた行列を \(A _ n\) とする.　」

この試行を \(n\) 回（ \(n = 2 , 3 , 4 , \cdots\) ）くり返した後に, \(A _ 0 , A _ 1 , \cdots , A _ {n-1}\) が逆行列をもたず \(A _ n\) は逆行列をもつ確率を \(p _ n\) とする.

1. (1)　\(p _ 2\) , \(p _ 3\) を求めよ.

2. (2)　\((n-1)\) 回（ \(n = 2 , 3 , 4 , \cdots\) ）の試行をくり返した後に, \(A _ {n-1}\) の第 \(1\) 行の成分がいずれも正で第 \(2\) 行の成分はいずれも \(0\) である確率 \(p _ {n-1}\) を求めよ.

3. (3)　\(p _ n\) （ \(n = 2 , 3 , 4 , \cdots\) ）を求めよ.

\(xy\) 平面上に \(3\) 点 O \(( 0 , 0 )\) , A \(( 1 , 0 )\) , B \(( 0 , 1 )\) がある.

1. (1)　\(a \gt 0\) とする. \(\text{OP} : \text{AP} = 1 : a\) を満たす点Pの軌跡を求めよ.

2. (2)　\(a \gt 0 , \ b \gt 0\) とする. \(\text{OP} : \text{AP} : \text{BP} = 1 : a : b\) を満たす点 P が存在するための \(a , b\) に対する条件を求め, \(ab\) 平面上に図示せよ.

\(a , b\) は \(a \geqq b \gt 0\) を満たす整数とし, \(x\) と \(y\) の \(2\) 次方程式 \(x^2+ax+b = 0\) , \(y^2+by+a = 0\) がそれぞれ整数解をもつとする.

1. (1)　\(a = b\) とするとき, 条件を満たす整数 \(a\) をすべて求めよ.

2. (2)　\(a \gt b\) とするとき, 条件を満たす整数の組 \(( a , b )\) をすべて求めよ.