\(6 \cdot 3^{3x} +1 = 7 \cdot 5^{2x}\) を満たす \(0\) 以上の整数 \(x\) をすべて求めよ.

\(\theta\) を実数とし, 数列 \(\{ a_n \}\) を \[ a_1 = 1 , \quad a_2 = \cos \theta , \quad a _{n+2} = \dfrac{3}{2} a _{n+1} -a_n \ ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] により定める. すべての \(n\) について \(a_n = \cos (n-1) \theta\) が成り立つとき, \(\cos \theta\) を求めよ.

硬貨が \(2\) 枚ある. 最初は \(2\) 枚とも表の状態で置かれている. 次の操作を \(n\) 回行ったあと, 硬貨が \(2\) 枚とも裏になっている確率を求めよ.

1. [操作]　\(2\) 枚とも表, または \(2\) 枚とも裏のときには, \(2\) 枚の硬貨両方を投げる. 表と裏が \(1\) 枚ずつのときには, 表になっている硬貨だけを投げる.

\(a\) を実数とし, \(f(x) = x^3 -3ax\) とする. 区間 \(-1\leq x \leqq 1\) における \(| f(x) |\) の最大値を \(M\) とする. \(M\) の最小値とそのときの \(a\) の値を求めよ.

平面上の \(2\) つのベクトル \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) は零ベクトルではなく, \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角度は \(60^{\circ}\) である. このとき \[ r = \dfrac{\left| \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} \right|}{\left| 2 \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right|} \] のとりうる値の範囲を求めよ.

\(x\) は \(0\) 以上の整数である. 次の表は \(2\) つの科目 X と Y の試験を受けた \(5\) 人の得点をまとめたものである. \[ \begin{array}{c|ccccc} & [1] & [2] & [3] & [4] & [5] \\ \hline \text{科目 X の得点} & x & 6 & 4 & 7 & 4 \\ \hline \text{科目 Y の得点} & 9 & 7 & 5 & 10 & 9 \end{array} \]

1. (1)　\(2n\) 個の実数 \(a_1 , a_2 , \cdots , a_n , b_1 , b_2 , \cdots b_n\) について, \(a = \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a_k\) , \(b = \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} b_k\) とすると, \[ \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} ( a_k -a ) ( b_k -b ) = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a_k b_k -nab \] が成り立つことを示せ.

2. (2)　科目 X の得点と科目 Y の得点の相関係数 \(r_{XY}\) を \(x\) で表せ.

3. (3)　\(x\) の値を \(2\) 増やして \(r _{XY}\) を計算しても値は同じであった. このとき, \(r _{XY}\) の値を四捨五入して小数第 \(1\) 位まで求めよ.