曲線 \(y = x^2\) 上に \(2\) 点 A \(( -2 , 4 )\) , B \(( b , b^2 )\) をとる. ただし \(b \gt -2\) とする. このとき, 次の条件を満たす \(b\) の範囲を求めよ.

1. 条件： \(y = x^2\) 上の点 T \(( t , t^2 ) \ ( -2 \lt t \lt b )\) で, \(\angle \text{ATB}\) が直角になるものが存在する.

\(2\) つの円 \(C : \ (x-1)^2 +y^2 = 1\) と \(D : \ (x+2)^2 +y^2 = 7^2\) を考える. また原点を O \(( 0 , 0 )\) とする. このとき, 次の問に答えよ.

1. (1)　円 \(C\) 上に, \(y\) 座標が正であるような点 P をとり, \(x\) 軸の正の部分と線分 OP のなす角を \(\theta\) とする. このとき, 点 P の座標と線分 OP の長さを \(\theta\) を用いて表せ.

2. (2)　(1) でとった点 P を固定したまま, 点 Q が円 \(D\) 上を動くとき, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積が最大になるときの Q の座標を \(\theta\) を用いて表せ.

3. (3)　点 P が円 \(C\) 上を動き, 点 Q が円 \(D\) 上を動くとき, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積の最大値を求めよ.

ただし, (2) , (3) においては, \(3\) 点 O , P , Q が同一直線上にあるときは, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積は \(0\) であるとする.

玉が \(2\) 個ずつ入った \(2\) つの袋 A , B があるとき, 袋 B から玉を \(1\) 個取り出して袋 A に入れ, 次に袋 A から玉を \(1\) 個取り出して袋 B に入れる, という操作を \(1\) 回の操作と数えることにする. A に赤玉が \(2\) 個, B に白玉が \(2\) 個入った状態から始め, この操作を \(n\) 回繰り返した後に袋 B に入っている赤玉の個数が \(k\) 個である確率を \(P _ n (k) \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) とする. このとき, 次の問に答えよ.

1. (1)　\(k = 0, 1, 2\) に対する \(P _ 1 (k)\) を求めよ.

2. (2)　\(k = 0, 1, 2\) に対する \(P _ n (k)\) を求めよ.

次の問に答えよ. ただし \(2\) 次方程式の重解は \(2\) つと数える.

1. (1)　次の条件 (＊) を満たす整数 \(a , b , c , d , e , f\) の組をすべて求めよ. \[ \text{(＊)} \ \left\{ \begin{array}{l} 2 \text{ 次方程式 } x^2 +ax +b = 0 \text{ の } 2 \text{ つの解が } c , d \text{ である. } \\ 2 \text{ 次方程式 } x^2 +cx +d = 0 \text{ の } 2 \text{ つの解が } e , f \text{ である. } \\ 2 \text{ 次方程式 } x^2 +ex +f = 0 \text{ の } 2 \text{ つの解が } a , b \text{ である. } \end{array} \right. \]

2. (2)　\(2\) つの数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) は, 次の条件 (＊＊) を満たすとする.

   1. (＊＊)　すべての正の整数 \(n\) について, \(a _ n , b _ n\) は整数であり, \(2\) 次方程式 \(x^2 +a _ n x +b _ n = 0\) の \(2\) つの解が \(a _ {n+1} , b _ {n+1}\) である.

　このとき

1. (i)　正の整数 \(m\) で, \(| b _ m | = | b _ {m+1} | = | b _ {m+2} | = \cdots\) となるものが存在することを示せ.

2. (ii)　条件 (＊＊) を満たす数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) の組をすべて求めよ.