座標平面において, 次の条件 (＊) を満たす直線 \(\ell\) を考える.
その交点を \(x\) 座標が小さなものから順に P, Q, R とし, さらに線分 PQ の中点を S とする.
(1) 点 R の座標を \(( a , a^3 -2x )\) とするとき, 点 S の座標を求めよ.
(2) 直線 \(\ell\) が条件 (＊) を満たしながら動くとき, 点 S の軌跡を求めよ.
(3) 直線 \(\ell\) が条件 (＊) を満たしながら動くとき, 線分 PS が動いてできる領域の面積を求めよ.
\(z\) を複素数とする. 複素数平面上の \(3\) 点 O \(( 0 )\) , A \(( z )\) , B \(( z^2 )\) について, 以下の問いに答えよ.
(1) \(3\) 点 O, A, B が同一直線上にあるための \(z\) の必要十分条件を求めよ.
(2) \(3\) 点 O, A, B が二等辺三角形の頂点になるような \(z\) 全体を複素数平面上に図示せよ.
(3) \(3\) 点 O, A, B が二等辺三角形の頂点であり, かつ \(z\) の偏角 \(\theta\) が \(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{3}\) を満たすとき, 三角形 OAB の面積の最大値とそのときの \(z\) の値を求めよ.
以下の問いに答えよ.
(1) 正の実数 \(a\) と正の整数 \(n\) に対して次の等式が成り立つことを示せ. ただし, \(e\) は自然対数の底とする. \[ e^a = 1 +a +\dfrac{a^2}{2 !} +\cdots +\dfrac{a^n}{n !} +\displaystyle\int _ {0}^{a} \dfrac{(a-x)^n}{n !} e^x \, dx \]
(2) 正の実数 \(a\) と正の整数 \(n\) に対して次の不等式を示せ. \[ \dfrac{a^{n+1}}{(n+1) !} \leqq \displaystyle\int _ {0}^{a} \dfrac{(a-x)^n}{n !} e^x \, dx \leqq \dfrac{e^a a^{n+1}}{(n+1) !} \]
(3) 不等式 \[ \left| e -\left( 1 +1 +\dfrac{1}{2 !} +\cdots +\dfrac{1}{n !} \right) \right| \lt 10^{-3} \] を満たす最小の正の整数 \(n\) を求めよ. 必要ならば \(2 \lt e \lt 3\) であることは証明なしに用いてもよい.
\(0\) から \(9\) までの相異なる整数が \(1\) つずつ書かれた \(10\) 個の球が, 袋の中に入っている. この袋から球を無作為に \(1\) 個取り出してはもとにもどす操作を \(3\) 回繰り返したとき, 取り出した球に書かれている数を順に \(a_1 , a_2 , a_3\) とする. また \(b_1 = 10 +a_1\) , \(b_2 = 20 +a_2\) , \(b_3 = 30 +a_3\) とおき, \(b_1 , b_2 , b_3 , b_1 +b_2 +b_3\) の \(1\) の位を四捨五入してえられる数をそれぞれ \(c_1 , c_2 , c_3 , c_4\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(b_1 +b_2 +b_3 = 70\) となる確率を求めよ.
(2) \(c_4 = 90\) となる確率を求めよ.
(3) \(c_1 = 20\) かつ \(c_1 +c_2 +c_3 \gt c_4\) となる確率を求めよ.
\(a , h\) を正の実数とし, \(xyz\) 空間の \(5\) 点 A \(( a , a , 0 )\) , B \(( -a , a , 0 )\) , C \(( -a , -a , 0 )\) , D \(( a , -a , 0 )\) , E \(( 0 , 0 , h )\) を頂点とする四角錐を \(P\) とする. \(P\) の \(yz\) 平面による断面の周の長さが \(1\) であるとき, 以下の各問いに答えよ.
(1) \(h\) を \(a\) の式で表せ. また, \(a\) が取り得る値の範囲を求めよ.
(2) 球 \(S\) は \(P\) のすべての面に接しているとする. \(a\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(S\) の体積が最大となる \(a\) の値を求めよ.
(3) 直方体 \(Q\) は \(1\) つの面が \(xy\) 平面上にあり, すべての頂点が \(P\) の辺上または面上にあるとする. \(a\) を固定したとき, \(Q\) の体積が取り得る値の最大値を \(V(a)\) とおく. \(a\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(V(a)\) の最大値を求めよ.
\(a , b\) を正の実数とし, 曲線 \(C : y = b \sqrt{1 +\dfrac{x^2}{a^2}}\) を考える. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(u\) を実数とし, \(C\) 上の点\(\left( u , b \sqrt{1 +\dfrac{u^2}{a^2}} \right)\) における接線の方程式を, \(a , b , u\) を用いて表せ.
(2) \(C\) 上の異なる \(2\) 点における接線の交点の全体からなる領域を図示せよ.
(3) (2) の領域にある点 \(( p , q )\) について, 点 \(( p , q )\) を通る \(C\) の接線の接点をすべて通る直線の方程式を, \(a , b , p , q\) を用いて表せ.
\(a\) を正の実数とする. 放物線 \(y = x^2\) を \(C_1\) , 放物線 \(y = -x^2 +4ax -4 a^2 +4 a^4\) を \(C_2\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) 点 \(( t , t^2 )\) における \(C_1\) の接線の方程式を求めよ.
(2) \(C_1\) と \(C_2\) が異なる \(2\) つの共通接線 \(\ell , \ell '\) を持つような \(a\) の範囲を求めよ. ただし, \(C_1\) と \(C_2\) の共通接線とは, \(C_1\) と \(C_2\) の両方に接する直線のことである.
以下, \(a\) は (2) で求めた範囲にあるとし, \(\ell , \ell '\) を \(C_1\) と \(C_2\) の異なる \(2\) つの共通接線とする.
(3) \(\ell , \ell '\) の交点の座標を求めよ.
(4) \(C_1\) と \(\ell , \ell '\) で囲まれた領域を \(D_1\) とし, 不等式 \(x \leqq a\) の表す領域を \(D_2\) とする. \(D_1\) と \(D_2\) の共通部分の面積 \(S(a)\) を求めよ.
(5) \(S(a)\) を (4) の通りとする. \(a\) が (2) で求めた範囲を動くとき, \(S(a)\) の最大値を求めよ.
\(4\) つの実数を \(\alpha = \log_2 3\) , \(\beta = \log _3 5\) , \(\gamma = \log _5 2\) , \(\delta = \dfrac{3}{2}\) とおく. 以下の問に答えよ.
(1) \(\alpha \beta \gamma = 1\) を示せ.
(2) \(\alpha , \beta , \gamma , \delta\) を小さい順に並べよ.
(3) \(p = \alpha +\beta +\gamma\) , \(q = \dfrac{1}{\alpha} +\dfrac{1}{\beta} +\dfrac{1}{\gamma}\) とし, \(f(x) = x^3 +p x^2 +q x +1\) とする. このとき \(f \left( -\dfrac{1}{2} \right)\) , \(f( -1 )\) および \(f \left( -\dfrac{3}{2} \right)\) の正負を判定せよ.