四面体 OABC において, \(\text{OA} = \text{OB} = \text{OC} = 1\) とする. \(\angle \text{AOB} = 60^{\circ}\) , \(\angle \text{BOC} = 45^{\circ}\) , \(\angle \text{COA} = 45^{\circ}\) とし, \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{\text{OA}}\) , \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{\text{OB}}\) , \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{\text{OC}}\) とおく. 点 C から面 OAB に垂線を引き, その交点を H とする.

1. (1)　ベクトル \(\overrightarrow{\text{OH}}\) を \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) を用いて表せ.

2. (2)　CH の長さを求めよ.

3. (3)　四面体 OABC の体積を求めよ.

A , B の \(2\) 人が, サイコロを \(1\) 回ずつ交互に投げるゲームを行う. 自分の出したサイコロの目を合計して先に \(6\) になった方が勝ちとし, その時点でゲームを終了する. A から投げ始めるものとし, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　A がちょうど \(2\) 回投げて A が勝ちとなる確率を求めよ.

2. (2)　B がちょうど \(2\) 回投げて B が勝ちとなる確率を求めよ.

3. (3)　B がちょうど \(3\) 回投げて, その時点でゲームが終了していない確率を求めよ.

数列 \(\left\{ a _ n \right\} , \left\{ b _ n \right\}\) を \[\begin{align} a _ n & = \displaystyle\int _ {-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} e^{n \sin \theta} \, d \theta , \\ b _ n & = \displaystyle\int _ {-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} e^{n \sin \theta} \cos \theta \, d \theta \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \ . \end{align}\] で定める. ただし, \(e\) は自然対数の底とする.

1. (1)　一般項 \(\left\{ b _ n \right\}\) を求めよ.

2. (2)　すべての \(n\) について, \(b _ n \leqq a _ n \leqq \dfrac{2}{\sqrt{3}} b _ n\) が成り立つことを示せ.

3. (3)　\(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{n} \log \left( na _ n \right)\) を求めよ. ただし, 対数は自然対数とする.

\(2\) 次の正方行列 \(A\) を \(A = \left( \begin{array}{cc} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)\) で定める. \(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対して, 点 \(\text{P} {} _ n \ \left( x _ n , y _ n \right)\) を関係式 \[ \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} x _ {n-1} \\ y _ {n-1} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \ . \] で定める. ただし, \(x _ 0 = 1\) , \(y _ 0 = 0\) とする.

1. (1)　\(A^4\) を求めよ.

2. (2)　\(n = 0, 1, 2, \cdots\) に対して, \[ \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) = \left( E-A^{n+1} \right) (E-A)^{-1} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \ . \] が成り立つことを示せ. ただし, \(E\) は \(2\) 次の単位行列とする.

3. (3)　原点 O から \(\text{P} {} _ n\) までの距離 \(\text{OP} {} _ n\) が最大となる \(n\) を求めよ.

\(n\) を \(2\) 以上の自然数とし, 整式 \(x^n\) を \(x^2-6x-12\) で割った余りを \(a _ n x +b _ n\) とする.

1. (1)　\(a _ 2 , b _ 2\) を求めよ.

2. (2)　\(a _ {n+1} , b _ {n+1}\) を \(a _ n , b _ n\) を用いて表せ.

3. (3)　各 \(n\) に対して, \(a _ n\) と \(b _ n\) の公約数で素数となるものをすべて求めよ.

\(\angle \text{C}\) を直角とする直角三角形 ABC に対して, \(\angle \text{A}\) の二等分線と線分 BC の交点を D とする. また, 線分 AD , DC , CA の長さをそれぞれ \(5, 3, 4\) とする. \(\angle \text{A} = \theta\) とおくとき, 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(\sin \theta\) を求めよ.

2. (2)　\(\theta \lt \dfrac{5}{12} \pi\) を示せ. ただし, \(\sqrt{2} = 1.414 \cdots\) , \(\sqrt{3} = 1.732 \cdots\) を用いてもよい.

自然数 \(n\) に対し, 方程式 \[ \dfrac{1}{x^n} -\log x -\dfrac{1}{e} = 0 \] を考える. ただし. 対数は自然対数であり, \(e\) はその底とする.

1. (1)　上の方程式は \(x \geqq 1\) にただ一つの解をもつことを示せ.

2. (2)　(1) の解を \(x _ n\) とする. このとき \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} x _ n = 1\) を示せ.

\(xy\) 平面上に \(4\) 点 \((0,0) , (4,0) , (4,4) , (0,4)\) を頂点とする正方形 \(K\) を考える. 点 \((1,2)\) を通る各直線に対して, その \(K\) に含まれる部分を \(l\) とおく.

1. (1)　\(l\) の長さの最大値と, それを与える直線の方程式を求めよ.

2. (2)　\(l\) の長さの最小値を求めよ.