関数 \(y = x(x-1)(x-3)\) のグラフを \(C\) , 原点 O を通る傾き \(t\) の直線を \(\ell\) とし, \(C\) と \(\ell\) が O 以外に共有点をもつとする. \(C\) と \(\ell\) の共有点を O , P , Q とし, \(\overrightarrow{\text{OP}}\) と \(\overrightarrow{\text{OQ}}\) の積を \(g(t)\) とおく. ただし, それら共有点の \(1\) つが接点である場合は, O , P , Q のうち \(2\) つが一致して, その接点であるとする. 関数 \(g(t)\) の増減を調べ, その極値を求めよ.
座標平面上の \(3\) 点 \[ \text{P} \left( 0 , -\sqrt{2} \right) , \ \text{Q} \left( 0 , \sqrt{2} \right) , \ \text{A} \left( a , \sqrt{a^2+1} \right) \quad ( 0 \leqq a \leqq 1 ) \] を考える.
(1) \(2\) つの線分の長さの差 \(\text{PA} -\text{AQ}\) は \(a\) によらない定数であることを示し, その値を求めよ.
(2) Qを端点としAを通る半直線と放物線 \(y = \dfrac{\sqrt{2}}{8} x^2\) との交点をBとする. 点Bから直線 \(y=2\) へ下ろした垂線と直線 \(y=2\) との交点をCとする. このとき, 線分の長さの和 \[ \text{PA} +\text{AB} +\text{BC} \] は \(a\) によらない定数であることを示し, その値を求めよ.
\(a , b\) を実数の定数とする. 実数 \(x , y\) が \[ x^2 +y^2 \leqq 25 , \ 2x+y \leqq 5 \] をともにみたすとき, \(z = x^2+y^2-2ax-2by\) の最小値を求めよ.
A , B の \(2\) 人がいる. 投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ \(\dfrac{1}{2}\) のコインが \(1\) 枚あり, 最初は A がそのコインを持っている. 次の操作を繰り返す.
(i) A がコインを持っているときは, コインを投げ, 表が出れば A に \(1\) 点を与え, コインは A がそのまま持つ. 裏が出れば, 両者に点を与えず, A はコインを B に渡す.
(ii) B がコインを持っているときは, コインを投げ, 表が出れば B に \(1\) 点を与え, コインは B がそのまま持つ. 裏が出れば, 両者に点を与えず, B はコインを A に渡す.
そして A , B のいずれかが \(2\) 点を獲得した時点で, \(2\) 点を獲得した方の勝利とする. たとえば, コインが表, 裏, 表, 表と出た場合, この時点で A は \(1\) 点, B は \(2\) 点を獲得しているので, B の勝利となる. A , B あわせてちょうど \(n\) 回コインを投げ終えたときに A の勝利となる確率 \(p _ n\) を求めよ.
連立方程式 \[ y \left( y -| x^2-5 | +4 \right) \leqq 0 , \ y +x^2 -2x -3 \leqq 0 \] の表す領域を \(D\) とする.
(1) \(D\) を図示せよ.
(2) \(D\) の面積を求めよ.
\(r\) は \(0 \lt r \lt 1\) をみたす実数, \(n\) は \(2\) 以上の整数とする. 平面上に与えられた \(1\) つの円を, 次の条件【1】, 【2】をみたす \(2\) つの円で置き換えられる操作を (P) を考える.
【1】 新しい \(2\) つの円の半径の比は \(r : 1-r\) で, 半径の和はもとの円の半径に等しい.
【2】 新しい \(2\) つの円は互いに外接し, もとの円に内接する.
以下のようにして, 平面上に \(2^n\) 個の円を作る.
最初に, 平面上に半径 \(1\) の円を描く.
次に, この円に対して操作(P)を行い, \(2\) つの円を得る（これを \(1\) 回目の操作という）.
\(k\) 回目の操作で得られた \(2^k\) 個の円のそれぞれについて, 操作 (P) を行い, \(2^{k+1}\) 個の円を得る（ \(1 \leqq k \leqq n-1\) ）.
(1) \(n\) 回目の操作で得られる \(2^n\) 個の円の周の長さの和を求めよ.
(2) \(2\) 回目の操作で得られる \(4\) つの円の面積の和を求めよ.
(3) \(n\) 回目の操作で得られる \(2^n\) 個の円の面積の和を求めよ.
正の整数の下 \(2\) 桁とは, \(100\) の位以上を無視した数をいう. たとえば \(2000, 12345\) の下 \(2\) 桁はそれぞれ \(0, 45\) である. \(m\) が正の整数全体を動くとき, \(5 m^4\) の下 \(2\) 桁として現れる数をすべて求めよ.
表が出る確率が \(p\) , 裏が出る確率が \(1-p\) であるような硬貨がある. ただし, \(0 \lt p \lt 1\) とする. この硬貨を投げて, 次のルール (R) の下で, ブロック積みゲームを行う.
\(n\) を正の整数, \(m\) を \(0 \leqq m \leqq n\) をみたす整数とする.
(1) \(n\) 回硬貨を投げたとき, 最後にブロックの高さが \(m\) となる確率 \(p _ m\) を求めよ.
(2) (1) で, 最後にブロックの高さが \(m\) 以下となる確率 \(q _ m\) を求めよ.
(3) ルール (R) の下で, \(n\) 回の硬貨投げを独立に \(2\) 度行い, それぞれ最後のブロックの高さを考える. \(2\) 度のうち, 高い方のブロックの高さが \(m\) である確率 \(r _ m\) を求めよ. ただし, 最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする.