\(xy\) 平面上の曲線 \(y = x^3\) を \(C\) とする. \(C\) 上の \(2\) 点 A \(( -1 , -1 )\) , B \(( 1 , 1 )\) をとる. さらに, \(C\) 上で原点 O と B の間に動点 P \(( t , t^3 ) \ ( 0 \lt t \lt 1 )\) をとる. このとき, 以下の問に答えよ.

1. (1)　直線 AP と \(x\) 軸のなす角を \(\alpha\) とし, 直線 PB と \(x\) 軸のなす角を \(\beta\) とするとき, \(\tan \alpha , \tan \beta\) を \(t\) を用いて表せ. ただし, \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) とする.

2. (2)　\(\tan \angle \text{APB}\) を \(t\) を用いて表せ.

3. (3)　\(\angle \text{APB}\) を最小にする \(t\) の値を求めよ.

整式 \(f(x) = x^4 -x^2 +1\) について, 以下の問に答えよ.

1. (1)　\(x^6\) を \(f(x)\) で割ったときの余りを求めよ.

2. (2)　\(x^{2021}\) を \(f(x)\) で割ったときの余りを求めよ.

3. (3)　自然数 \(n\) が \(3\) の倍数であるとき, \(( x^2 -1 )^n -1\) が \(f(x)\) で割り切れることを示せ.

複素数 \(\alpha = 2 +i\) , \(\beta = -\dfrac{1}{2} +i\) に対応する複素数平面上の点を \(\text{A} ( \alpha ) , \text{B} ( \beta )\) とする. このとき, 以下の問に答えよ.

1. (1)　複素数平面上の点 \(\text{C} ( \alpha^2 )\) , \(\text{D} ( \beta^2 )\) と原点 O の \(3\) 点は一直線上にあることを示せ.

2. (2)　点 \(\text{P} (z)\) が直線 AB 上を動くとき, \(z^2\) の実部を \(x\) , 虚部を \(y\) として, 点 \(\text{Q} ( z^2 )\) の軌跡を \(x , y\) の方程式で表せ.

3. (3)　点 \(\text{P} (z)\) が三角形 OAB の周および内部にあるとき, 点 \(\text{Q} ( z^2 )\) 全体のなす図形を \(K\) とする. \(K\) を複素数平面上に図示せよ.

4. (4)　(3) の図形 \(K\) の面積を求めよ.

\(n , k\) を \(2\) 以上の自然数とする. \(n\) 個の箱の中に \(k\) 個の玉を無作為に入れ, 各箱に入った玉の個数を数える. その最大値と最小値の差が \(\ell\) となる確率を \(P _ {\ell} \ ( 0 \leqq \ell \leqq k )\) とする. このとき, 以下の問に答えよ.

1. (1)　\(n = 2\) , \(k = 3\) のとき, \(P_0 , P_1 , P_2 , P_3\) を求めよ.

2. (2)　\(n \geqq 2\) , \(k = 2\) のとき, \(P_0 , P_1 , P_2\) を求めよ.

3. (3)　\(n \geqq 3\) , \(k = 3\) のとき, \(P_0 , P_1 , P_2 , P_3\) を求めよ.

正四面体 OABC に対し, 三角形 ABC の外心を M とし, M を中心として点 A, B, C を通る球面を \(S\) とする. また, \(S\) と辺 OA, OB, OC との交点のうち, A, B, C とは異なるものをそれぞれ D, E, F とする. さらに, \(S\) と三角形 OAB の共通部分として得られる弧 DE を考え, その弧を含む円周の中心を G とする. \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{\text{OA}}\) , \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{\text{OB}}\) , \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{\text{OC}}\) として, 以下の問に答えよ.

1. (1)　\(\overrightarrow{\text{OD}} , \overrightarrow{\text{OE}} , \overrightarrow{\text{OF}} , \overrightarrow{\text{OG}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c}\) を用いて表せ.

2. (2)　三角形 OAB の面積を \(S_1\) , 四角形 ODGE の面積を \(S_2\) とするとき, \(S_1 : S_2\) をできるだけ簡単な整数比により表せ.

正の実数 \(m , n\) に対して \(f( m , n )\) が次の等式を満たすように定められている. \[ \left\{ \begin{array}{l} f( 1 , 1 ) = 1 , \ f( 2 , 2 ) = 6 , \ f( 3 ,3 ) = 20 \\ f( m , n ) = 2 f( m-1 , n ) \quad ( m \geqq 2 )\\ f( m , n ) +3 f( m , n-2 ) = 3 f( m , n-1 ) +f( m , n-3 ) \quad ( n \geqq 4 )\end{array} \right. \] 次の問に答えよ.

1. (1)　\(f( m , 1 )\) および \(f( 1 , n )\) をそれぞれ \(m , n\) の式で表せ.

2. (2)　\(f( 6 , 32 )\) の値を求めよ.

3. (3)　任意の正の整数 \(l\) に対して, \(f( m , n ) = l\) を満たす正の整数 \(m , n\) が存在することを示せ.

正方形 ABCD を底面, 点 P を頂点とする正四角錐 PABCD に内接する球について考える. ただし, 正四角錐とは, 頂点と底面の正方形の中心を結ぶ直線が底面と垂直になる角錐である. 線分 AB の中点を M とし, 線分 AM および 線分 PM の長さをそれぞれ \(a , b\) とする. 次の問に答えよ.

1. (1)　内接する球の半径を \(a , b\) を用いて表せ.

2. (2)　\(x = \dfrac{b}{a}\) と定めるとき, \(\dfrac{\text{内接する球の表面積}}{\text{正四角錐 PABCD の表面積}}\) を \(x\) で表し, その最大値を求めよ.

3. (3)　(2) で最大値をとるときの正四角錐 PABCD の体積を \(a\) を用いて表せ.

\(f(x) = x^3 -x\) とする. \(xy\) 平面上の点 \(( p , q )\) から曲線 \(y = f(x)\) へ引いた接線を考える. 次の問に答えよ.

1. (1)　直線 \(y = m(x-p) +q\) が曲線 \(y = f(x)\) の接線となるための条件を \(m , p , q\) を用いて表せ.

2. (2)　点 \(( p , q )\) から曲線 \(y = f(x)\) に \(3\) 本の接線を引くことができるとき, \(p , q\) の条件を求めよ.

3. (3)　(2) の条件を満たす点 \(( p , q )\) の範囲を図示せよ.