平面上の \(2\) つのベクトル \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) は零ベクトルではなく, \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角度は \(60^{\circ}\) である. このとき \[ r = \dfrac{\left| \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} \right|}{\left| 2 \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right|} \] のとりうる値の範囲を求めよ.
\(x\) は \(0\) 以上の整数である. 次の表は \(2\) つの科目 X と Y の試験を受けた \(5\) 人の得点をまとめたものである. \[ \begin{array}{c|ccccc} & [1] & [2] & [3] & [4] & [5] \\ \hline \text{科目 X の得点} & x & 6 & 4 & 7 & 4 \\ \hline \text{科目 Y の得点} & 9 & 7 & 5 & 10 & 9 \end{array} \]
(1) \(2n\) 個の実数 \(a_1 , a_2 , \cdots , a_n , b_1 , b_2 , \cdots b_n\) について, \(a = \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a_k\) , \(b = \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} b_k\) とすると, \[ \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} ( a_k -a ) ( b_k -b ) = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a_k b_k -nab \] が成り立つことを示せ.
(2) 科目 X の得点と科目 Y の得点の相関係数 \(r_{XY}\) を \(x\) で表せ.
(3) \(x\) の値を \(2\) 増やして \(r _{XY}\) を計算しても値は同じであった. このとき, \(r _{XY}\) の値を四捨五入して小数第 \(1\) 位まで求めよ.
座標平面上の \(3\) 点 P \(( x , y )\) , Q \(( -x , -y )\) , R \(( 1 , 0 )\) が鋭角三角形をなすための \(( x , y )\) についての条件を求めよ. また, その条件をみたす点 P \(( x , y )\) の範囲を図示せよ.
A , B , C の \(3\) つのチームが参加する野球の大会を開催する. 以下の方式で試合を行い, \(2\) 連勝したチームが出た時点で, そのチームを優勝チームとして大会は終了する.
(a) \(1\) 試合目で A と B が対戦する.
(b) \(2\) 試合目で, \(1\) 試合目の勝者と, \(1\) 試合目で待機していた C が対戦する.
(c) \(k\) 試合目で優勝チームが決まらない場合は, \(k\) 試合目の勝者と \(k\) 試合目で待機していたチームが \(k+1\) 試合目で対戦する. ここで \(k\) は \(2\) 以上の整数とする.
なお, すべての対戦において, それぞれのチームが勝つ確率は \(\dfrac{1}{2}\) で, 引き分けはないものとする.
(1) ちょうど \(5\) 試合目で A が優勝する確率を求めよ.
(2) \(n\) を \(2\) 以上の整数とする. ちょうど \(n\) 試合目で A が優勝する確率を求めよ.
(3) \(m\) を正の整数とする. 総試合数が \(3m\) 回以下で A が優勝する確率を求めよ.
座標平面上の \(2\) つの放物線 \[\begin{align} A : & \ y = x^2 \\ B : & \ y = -x^2 +px +q \end{align}\] が点 \(( -1 , 1 )\) で接している. ここで, \(p\) と \(q\) は実数である. さらに, \(t\) を正の実数とし, 放物線 \(B\) を \(x\) 軸の正の方向に \(2t\) , \(y\) 軸の正の方向に \(t\) だけ平行移動して得られる放物線を \(C\) とする.
(1) \(p\) と \(q\) の値を求めよ.
(2) 放物線 \(A\) と \(C\) が囲む領域の面積を \(S(t)\) とする. ただし, \(A\) と \(C\) が領域を囲まないときは \(S(t) = 0\) と定める. \(S(t)\) を求めよ.
(3) \(t \gt 0\) における \(S(t)\) の最大値を求めよ.
以下の問いに答えよ. ただし, (1) については, 結論のみを書けばよい.
(1) \(n\) を正の整数とする. \(3^n\) を \(10\) で割った余りを \(a_n\) とする. \(a_n\) を求めよ.
(2) \(n\) を正の整数とし, する. \(3^n\) を \(4\) で割った余りを \(b_n\) とする. \(b_n\) を求めよ.
(3) 数列 \(\{ x_n \}\) を次のように定める. \[ x_1 = 1 , \quad x _ {n+1} = 3^{ x_n } \ ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] \(x_{10}\) を \(10\) で割った余りを求めよ.