自然数 \(n\) に対して, \(n\) のすべての正の約数（ \(1\) と \(n\) を含む）の和を \(S(n)\) とおく. 例えば, \(S(9) = 1 +3 +9 = 13\) である. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(n\) が異なる素数 \(p\) と \(q\) によって \(n = p^2 q\) と表されるとき, \(S(n) = 2n\) を満たす \(n\) をすべて求めよ.
(2) \(a\) を自然数とする. \(n = 2^a -1\) が \(S(n) = n+1\) を満たすとき, \(a\) は素数であることを示せ.
(3) \(a\) を \(2\) 以上の自然数とする. \(n = 2^{a-1} \left( 2^a -1 \right)\) が \(S(n) \leqq 2n\) を満たすとき, \(n\) の \(1\) の位は \(6\) か \(8\) であることを示せ.
\(xyz\) 空間において連立不等式 \[ |x| \leqq 1 , \quad |y| \leqq 1 , \quad |z| \leqq 1 \] の表す領域を \(Q\) とし, 正の実数 \(r\) に対して \(x^2 +y^2 +z^2 \leqq r^2\) の表す領域を \(S\) とする. また, \(Q\) と \(S\) のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を \(R\) とし, \(R\) の体積を \(V(r)\) とする. さらに
\(x \geqq 1\) の表す領域と \(S\) の共通部分を \(S _ x\)
\(y \geqq 1\) の表す領域と \(S\) の共通部分を \(S _ y\)
\(z \geqq 1\) の表す領域と \(S\) の共通部分を \(S _ z\)
とし,
\(S _ x \neq \emptyset\) を満たす \(r\) の最小値を \(r _ 1\)
\(S _ x \cap S _ y \neq \emptyset\) を満たす \(r\) の最小値を \(r _ 2\)
\(S _ x \cap S _ y \cap S _ z \neq \emptyset\) を満たす \(r\) の最小値を \(r _ 3\)
とする. ただし, \(\emptyset\) は空集合を表す. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(r = \dfrac{\sqrt{10}}{3}\) のとき, \(R\) の \(xy\) 平面による断面を図示せよ.
(2) \(r _ 1 , r _ 2 , r _ 3\) および \(V( r _ 1 ) , V( r _ 3 )\) を求めよ.
(3) \(r \geqq r _ 1\) のとき, \(S _ x\) の体積を \(r\) を用いて表せ.
(4) \(0 \lt r \leqq r _ 2\) において, \(V(r)\) が最小となる \(r\) の値を求めよ.
関数 \(f(x) = \langle \! \langle x \rangle \! \rangle -2 \langle \! \langle x-1 \rangle \! \rangle +\langle \! \langle x-2 \rangle \! \rangle\) を考える. ここで, 実数 \(u\) に対して \(\langle \! \langle u \rangle \! \rangle = \dfrac{u +|u|}{2}\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(f(x)\) のグラフをかけ.
(2) \(g(x) = \displaystyle\int _ {0}^{1} f(x-t) \, dt\) とおくとき, \(g(x)\) の最大値を求めよ.
(3) (2) の \(g(x)\) に対して, \(p(s) = \displaystyle\int _ {0}^{3} (x-s)^2 g(x) \, dx\) とおくとき, \(p(s)\) の最小値を求めよ.
曲線 \(y = x^2\) 上に \(2\) 点 A \(( -2 , 4 )\) , B \(( b , b^2 )\) をとる. ただし \(b \gt -2\) とする. このとき, 次の条件を満たす \(b\) の範囲を求めよ.
\(2\) つの円 \(C : \ (x-1)^2 +y^2 = 1\) と \(D : \ (x+2)^2 +y^2 = 7^2\) を考える. また原点を O \(( 0 , 0 )\) とする. このとき, 次の問に答えよ.
(1) 円 \(C\) 上に, \(y\) 座標が正であるような点 P をとり, \(x\) 軸の正の部分と線分 OP のなす角を \(\theta\) とする. このとき, 点 P の座標と線分 OP の長さを \(\theta\) を用いて表せ.
(2) (1) でとった点 P を固定したまま, 点 Q が円 \(D\) 上を動くとき, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積が最大になるときの Q の座標を \(\theta\) を用いて表せ.
(3) 点 P が円 \(C\) 上を動き, 点 Q が円 \(D\) 上を動くとき, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積の最大値を求めよ.
ただし, (2) , (3) においては, \(3\) 点 O , P , Q が同一直線上にあるときは, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積は \(0\) であるとする.
玉が \(2\) 個ずつ入った \(2\) つの袋 A , B があるとき, 袋 B から玉を \(1\) 個取り出して袋 A に入れ, 次に袋 A から玉を \(1\) 個取り出して袋 B に入れる, という操作を \(1\) 回の操作と数えることにする. A に赤玉が \(2\) 個, B に白玉が \(2\) 個入った状態から始め, この操作を \(n\) 回繰り返した後に袋 B に入っている赤玉の個数が \(k\) 個である確率を \(P _ n (k) \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) とする. このとき, 次の問に答えよ.
(1) \(k = 0, 1, 2\) に対する \(P _ 1 (k)\) を求めよ.
(2) \(k = 0, 1, 2\) に対する \(P _ n (k)\) を求めよ.
次の問に答えよ. ただし \(2\) 次方程式の重解は \(2\) つと数える.
(1) 次の条件 (＊) を満たす整数 \(a , b , c , d , e , f\) の組をすべて求めよ. \[ \text{(＊)} \ \left\{ \begin{array}{l} 2 \text{ 次方程式 } x^2 +ax +b = 0 \text{ の } 2 \text{ つの解が } c , d \text{ である. } \\ 2 \text{ 次方程式 } x^2 +cx +d = 0 \text{ の } 2 \text{ つの解が } e , f \text{ である. } \\ 2 \text{ 次方程式 } x^2 +ex +f = 0 \text{ の } 2 \text{ つの解が } a , b \text{ である. } \end{array} \right. \]
(2) \(2\) つの数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) は, 次の条件 (＊＊) を満たすとする.
このとき
(i) 正の整数 \(m\) で, \(| b _ m | = | b _ {m+1} | = | b _ {m+2} | = \cdots\) となるものが存在することを示せ.
(ii) 条件 (＊＊) を満たす数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) の組をすべて求めよ.
\(1\) 以上 \(6\) 以下の \(2\) つの整数 \(a , b\) に対し, 関数 \(f _ n (x) = \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を次の条件 (ア), (イ), (ウ) で定める. \[ \begin{array}{lll} \text{(ア)} & f _ 1 (x) = \sin ( \pi x ) & \\ \text{(イ)} & f _ {2n} (x) = f _ {2n-1} \left( \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} -x \right) & ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \\ \text{(ウ)} & f _ {2n+1} (x) = f _ {2n} ( -x ) & ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \end{array} \] 以下の問いに答えよ.
(1) \(a = 2\) , \(b = 3\) のとき, \(f _ 5 (0)\) を求めよ.
(2) \(a = 2\) , \(b = 3\) のとき, \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{100} (-1)^k f _ {2k} (0)\) を求めよ.
(3) \(1\) 個のさいころを \(2\) 回投げて, \(1\) 回目に出る目を \(a\) , \(2\) 回目に出る目を \(b\) とするとき, \(f _ 6 (0) = 0\) となる確率を求めよ.