「2016年」タグアーカイブ

医科歯科大2016：第2問

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\(xyz\) 空間において連立不等式 \[ |x| \leqq 1 , \quad |y| \leqq 1 , \quad |z| \leqq 1 \] の表す領域を \(Q\) とし, 正の実数 \(r\) に対して \(x^2 +y^2 +z^2 \leqq r^2\) の表す領域を \(S\) とする. また, \(Q\) と \(S\) のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を \(R\) とし, \(R\) の体積を \(V(r)\) とする. さらに

  • \(x \geqq 1\) の表す領域と \(S\) の共通部分を \(S _ x\)

  • \(y \geqq 1\) の表す領域と \(S\) の共通部分を \(S _ y\)

  • \(z \geqq 1\) の表す領域と \(S\) の共通部分を \(S _ z\)

とし,

  • \(S _ x \neq \emptyset\) を満たす \(r\) の最小値を \(r _ 1\)

  • \(S _ x \cap S _ y \neq \emptyset\) を満たす \(r\) の最小値を \(r _ 2\)

  • \(S _ x \cap S _ y \cap S _ z \neq \emptyset\) を満たす \(r\) の最小値を \(r _ 3\)

とする. ただし, \(\emptyset\) は空集合を表す. このとき以下の各問いに答えよ.

  1. (1)　\(r = \dfrac{\sqrt{10}}{3}\) のとき, \(R\) の \(xy\) 平面による断面を図示せよ.

  2. (2)　\(r _ 1 , r _ 2 , r _ 3\) および \(V( r _ 1 ) , V( r _ 3 )\) を求めよ.

  3. (3)　\(r \geqq r _ 1\) のとき, \(S _ x\) の体積を \(r\) を用いて表せ.

  4. (4)　\(0 \lt r \leqq r _ 2\) において, \(V(r)\) が最小となる \(r\) の値を求めよ.

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医科歯科大2016：第3問

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関数 \(f(x) = \langle \! \langle x \rangle \! \rangle -2 \langle \! \langle x-1 \rangle \! \rangle +\langle \! \langle x-2 \rangle \! \rangle\) を考える. ここで, 実数 \(u\) に対して \(\langle \! \langle u \rangle \! \rangle = \dfrac{u +|u|}{2}\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.

  1. (1)　\(f(x)\) のグラフをかけ.

  2. (2)　\(g(x) = \displaystyle\int _ {0}^{1} f(x-t) \, dt\) とおくとき, \(g(x)\) の最大値を求めよ.

  3. (3)　(2) の \(g(x)\) に対して, \(p(s) = \displaystyle\int _ {0}^{3} (x-s)^2 g(x) \, dx\) とおくとき, \(p(s)\) の最小値を求めよ.

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名古屋大理系2016：第1問

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曲線 \(y = x^2\) 上に \(2\) 点 A \(( -2 , 4 )\) , B \(( b , b^2 )\) をとる. ただし \(b \gt -2\) とする. このとき, 次の条件を満たす \(b\) の範囲を求めよ.

  1. 条件： \(y = x^2\) 上の点 T \(( t , t^2 ) \ ( -2 \lt t \lt b )\) で, \(\angle \text{ATB}\) が直角になるものが存在する.
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名古屋大理系2016：第2問

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\(2\) つの円 \(C : \ (x-1)^2 +y^2 = 1\) と \(D : \ (x+2)^2 +y^2 = 7^2\) を考える. また原点を O \(( 0 , 0 )\) とする. このとき, 次の問に答えよ.

  1. (1)　円 \(C\) 上に, \(y\) 座標が正であるような点 P をとり, \(x\) 軸の正の部分と線分 OP のなす角を \(\theta\) とする. このとき, 点 P の座標と線分 OP の長さを \(\theta\) を用いて表せ.

  2. (2)　(1) でとった点 P を固定したまま, 点 Q が円 \(D\) 上を動くとき, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積が最大になるときの Q の座標を \(\theta\) を用いて表せ.

  3. (3)　点 P が円 \(C\) 上を動き, 点 Q が円 \(D\) 上を動くとき, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積の最大値を求めよ.

ただし, (2) , (3) においては, \(3\) 点 O , P , Q が同一直線上にあるときは, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積は \(0\) であるとする.

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名古屋大理系2016：第3問

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玉が \(2\) 個ずつ入った \(2\) つの袋 A , B があるとき, 袋 B から玉を \(1\) 個取り出して袋 A に入れ, 次に袋 A から玉を \(1\) 個取り出して袋 B に入れる, という操作を \(1\) 回の操作と数えることにする. A に赤玉が \(2\) 個, B に白玉が \(2\) 個入った状態から始め, この操作を \(n\) 回繰り返した後に袋 B に入っている赤玉の個数が \(k\) 個である確率を \(P _ n (k) \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) とする. このとき, 次の問に答えよ.

  1. (1)　\(k = 0, 1, 2\) に対する \(P _ 1 (k)\) を求めよ.

  2. (2)　\(k = 0, 1, 2\) に対する \(P _ n (k)\) を求めよ.

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名古屋大理系2016：第4問

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次の問に答えよ. ただし \(2\) 次方程式の重解は \(2\) つと数える.

  1. (1)　次の条件 (＊) を満たす整数 \(a , b , c , d , e , f\) の組をすべて求めよ. \[ \text{(＊)} \ \left\{ \begin{array}{l} 2 \text{ 次方程式 } x^2 +ax +b = 0 \text{ の } 2 \text{ つの解が } c , d \text{ である. } \\ 2 \text{ 次方程式 } x^2 +cx +d = 0 \text{ の } 2 \text{ つの解が } e , f \text{ である. } \\ 2 \text{ 次方程式 } x^2 +ex +f = 0 \text{ の } 2 \text{ つの解が } a , b \text{ である. } \end{array} \right. \]

  2. (2)　\(2\) つの数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) は, 次の条件 (＊＊) を満たすとする.

    1. (＊＊)　すべての正の整数 \(n\) について, \(a _ n , b _ n\) は整数であり, \(2\) 次方程式 \(x^2 +a _ n x +b _ n = 0\) の \(2\) つの解が \(a _ {n+1} , b _ {n+1}\) である.

　このとき

  1. (i)　正の整数 \(m\) で, \(| b _ m | = | b _ {m+1} | = | b _ {m+2} | = \cdots\) となるものが存在することを示せ.

  2. (ii)　条件 (＊＊) を満たす数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) の組をすべて求めよ.

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阪大理系2016：第1問

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\(1\) 以上 \(6\) 以下の \(2\) つの整数 \(a , b\) に対し, 関数 \(f _ n (x) = \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を次の条件 (ア), (イ), (ウ) で定める. \[ \begin{array}{lll} \text{(ア)} & f _ 1 (x) = \sin ( \pi x ) & \\ \text{(イ)} & f _ {2n} (x) = f _ {2n-1} \left( \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} -x \right) & ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \\ \text{(ウ)} & f _ {2n+1} (x) = f _ {2n} ( -x ) & ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \end{array} \] 以下の問いに答えよ.

  1. (1)　\(a = 2\) , \(b = 3\) のとき, \(f _ 5 (0)\) を求めよ.

  2. (2)　\(a = 2\) , \(b = 3\) のとき, \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{100} (-1)^k f _ {2k} (0)\) を求めよ.

  3. (3)　\(1\) 個のさいころを \(2\) 回投げて, \(1\) 回目に出る目を \(a\) , \(2\) 回目に出る目を \(b\) とするとき, \(f _ 6 (0) = 0\) となる確率を求めよ.

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阪大理系2016：第2問

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次の問いに答えよ.

  1. (1)　\(c\) を正の定数とする. 正の実数 \(x , y\) が \(x+y = c\) をみたすとき, \[ \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \] の最小値を \(c\) を用いて表せ.

  2. (2)　正の実数 \(x , y , z\) が \(x+y+z = 1\) をみたすとき, \[ \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \left( 1 -\dfrac{4}{3z} \right) \] の最大値を求めよ.

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