\(a , b\) を \(ab \lt 1\) をみたす正の実数とする.
\(xy\) 平面上の点 P \(( a , b )\) から, 曲線 \(y = \dfrac{1}{x} \ ( x \gt 0 )\) に \(2\) 本の接線を引き,
その接点を Q \(\left( s , \dfrac{1}{s} \right)\) , R \(\left( t , \dfrac{1}{t} \right)\) とする.
ただし, \(s \lt t\) とする.
(1) \(s\) および \(t\) を \(a , b\) を用いて表せ.
(2) 点 P \(( a , b)\) が曲線 \(y = \dfrac{9}{4} -3 x^2\) 上の \(x \gt 0\) , \(y \gt 0\) をみたす部分を動くとき, \(\dfrac{t}{s}\) の最小値とそのときの \(a , b\) の値を求めよ.
空間内に, 同一平面上にない \(4\) 点 O, A, B, C がある. \(s , t \) を \(0 \lt s \lt 1\) , \(0 \lt t \lt 1\) をみたす実数とする. 線分 OA を \(1 : 1\) に内分する点を \(\text{A} {} _0\) , 線分 OB を \(1 : 2\) に内分する点を \(\text{B} {} _0\) , 線分 AC を \(s : (1-s)\) に内分する点を P , 線分 BC を \(t : (1-t)\) に内分する点を Q とする. さらに \(4\) 点 \(\text{A} _0 , \text{B} {} _0 , \text{P} , \text{Q}\) が同一平面上にあるとする.
(1) \(t\) を \(s\) を用いて表せ.
(2) \(\left| \overrightarrow{\text{OA}} \right| = 1\) , \(\left| \overrightarrow{\text{OB}} \right| = \left| \overrightarrow{\text{OC}} \right| = 2\) , \(\angle \text{AOB} = 120^\circ\) , \(\angle \text{BOC} = 90^\circ\) , \(\angle \text{COA} = 60^\circ\) , \(\angle \text{POQ} = 90^\circ\) であるとき, \(s\) の値を求めよ.
\(n\) を 自然数とし, \(t\) を \(t \geqq 1\) をみたす実数とする.
(1) \(x \geqq t\) のとき, 不等式 \[ -\dfrac{(x-t)^2}{2} \leqq \log x -\log t -\dfrac{1}{t} (x-t) \leqq 0 \] が成り立つことを示せ.
(2) 不等式 \[ -\dfrac{1}{6 n^3} \leqq \displaystyle\int_{t}^{t +\frac{1}{n}} \log x \, dx -\dfrac{1}{n} \log t -\dfrac{1}{2t n^2} \leqq 0 \] が成り立つことを示せ.
(3) \(a_n = \textstyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} \log \left( 1 +\dfrac{k}{n} \right)\) とおく. \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} ( a_n -pn ) = q\) をみたすような実数 \(p , q\) の値を求めよ.
整数 \(a , b , c\) に関する次の条件 (＊) を考える. \[ \displaystyle\int_{a}^{c} ( x^2 +bx ) \, dx = \displaystyle\int_{b}^{c} ( x^2 +ax ) \, dx \quad \cdots ( \text{＊} ) \]
(1) 整数 \(a , b, c\) が (＊) および \(a \neq b\) をみたすとき, \(c\) は \(3\) の倍数であることを示せ.
(2) \(c = 3600\) のとき, (＊) および \(a \lt b\) をみたす整数の組 \(( a , b)\) の個数を求めよ.
次の問いに答えよ.
(1) \(a\) を実数とする. \(x\) についての方程式 \(x -\tan x = a\) の実数解のうち, \(|x| \lt \dfrac{\pi}{2}\) をみたすものがちょうど\(1\) つあることを示せ.
(2) 自然数 \(n\) に対し, \(x -\tan x = n \pi\) かつ \(|x| \lt \dfrac{\pi}{2}\) をみたす実数 \(x\) を \(x_n\) とおく. このとき, 曲線 \(C : y = \sin x\) 上の点 P \(( t , \sin t)\) における接線が, 不等式 \(x \geqq \dfrac{\pi}{2}\) の表す領域に含まれる点においても曲線 \(C\) と接するための必要十分条件は, \(t\) が \(x_1 , x_2 , x_3 , \cdots\) のいずれかと等しいことであることを示せ.
\(1\) 以上 \(6\) 以下の \(2\) つの整数 \(a , b\) に対し, 関数 \(f _ n (x) = \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を次の条件 (ア), (イ), (ウ) で定める. \[ \begin{array}{lll} \text{(ア)} & f _ 1 (x) = \sin ( \pi x ) & \\ \text{(イ)} & f _ {2n} (x) = f _ {2n-1} \left( \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} -x \right) & ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \\ \text{(ウ)} & f _ {2n+1} (x) = f _ {2n} ( -x ) & ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \end{array} \] 以下の問いに答えよ.
(1) \(a = 2\) , \(b = 3\) のとき, \(f _ 5 (0)\) を求めよ.
(2) \(a = 2\) , \(b = 3\) のとき, \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{100} (-1)^k f _ {2k} (0)\) を求めよ.
(3) \(1\) 個のさいころを \(2\) 回投げて, \(1\) 回目に出る目を \(a\) , \(2\) 回目に出る目を \(b\) とするとき, \(f _ 6 (0) = 0\) となる確率を求めよ.
次の問いに答えよ.
(1) \(c\) を正の定数とする. 正の実数 \(x , y\) が \(x+y = c\) をみたすとき, \[ \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \] の最小値を \(c\) を用いて表せ.
(2) 正の実数 \(x , y , z\) が \(x+y+z = 1\) をみたすとき, \[ \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \left( 1 -\dfrac{4}{3z} \right) \] の最大値を求めよ.
座標平面において, 原点 O を中心とする半径 \(r\) の円と放物線 \(y = \sqrt{2} (x-1)^2\) は, ただ \(1\) つの共有点 \(( a , b )\) をもつとする.
(1) \(a , b , r\) の値をそれぞれ求めよ.
(2) 連立不等式 \[ a \leqq x \leqq 1 , \quad 0 \leqq y \leqq \sqrt{2} (x-1)^2 , \quad x^2 +y^2 \geqq r^2 \] の表す領域を, \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の体積を求めよ.