\(a , b\) を実数とする. 座標平面上の放物線 \[ C \ : \ y = x^2 +ax +b \] は放物線 \(y = -x^2\) と \(2\) つの共有点を持ち, 一方の共有点の \(x\) 座標は \(-1 \lt x \lt 0\) を満たし, 他方の共有点の \(x\) 座標は \(0 \lt x \lt -1\) を満たす.
(1) 点 \(( a , b )\) のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ.
(2) 放物線 \(C\) の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ.
以下の問に答えよ.
(1) 正の奇数 \(K , L\) と正の整数 \(A , B\) が \(KA = LB\) を満たしているとする. \(K\) を \(4\) で割った余りが \(L\) を \(4\) で割った余りと等しいならば, \(A\) を \(4\) で割った余りは \(B\) を \(4\) で割った余りと等しいことを示せ.
(2) 正の整数 \(a , b\) が \(a \gt b\) を満たしているとする. このとき, \(A = {} _ {4a+1} \text{C} {} _ {4b+1}\) , \(B = {} _ {a} \text{C} {} _ {b}\) に対して \(KA =LB\) となるような正の奇数 \(K , L\) が存在することを示せ.
(3) \(a , b\) は (2) の通りとし, さらに \(a-b\) が \(2\) で割り切れるとする. \({} _ {4a+1} \text{C} {} _ {4b+1}\) を \(4\) で割った余りは \({} _ {a} \text{C} {} _ {b}\) を \(4\) で割った余りと等しいことを示せ.
(4) \({} _ {2021} \text{C} {} _ {37}\) を \(4\) で割った余りを求めよ.
\(xy\) 平面上の曲線 \(y = x^3\) を \(C\) とする. \(C\) 上の \(2\) 点 A \(( -1 , -1 )\) , B \(( 1 , 1 )\) をとる. さらに, \(C\) 上で原点 O と B の間に動点 P \(( t , t^3 ) \ ( 0 \lt t \lt 1 )\) をとる. このとき, 以下の問に答えよ.
(1) 直線 AP と \(x\) 軸のなす角を \(\alpha\) とし, 直線 PB と \(x\) 軸のなす角を \(\beta\) とするとき, \(\tan \alpha , \tan \beta\) を \(t\) を用いて表せ. ただし, \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) とする.
(2) \(\tan \angle \text{APB}\) を \(t\) を用いて表せ.
(3) \(\angle \text{APB}\) を最小にする \(t\) の値を求めよ.
整式 \(f(x) = x^4 -x^2 +1\) について, 以下の問に答えよ.
(1) \(x^6\) を \(f(x)\) で割ったときの余りを求めよ.
(2) \(x^{2021}\) を \(f(x)\) で割ったときの余りを求めよ.
(3) 自然数 \(n\) が \(3\) の倍数であるとき, \(( x^2 -1 )^n -1\) が \(f(x)\) で割り切れることを示せ.
複素数 \(\alpha = 2 +i\) , \(\beta = -\dfrac{1}{2} +i\) に対応する複素数平面上の点を \(\text{A} ( \alpha ) , \text{B} ( \beta )\) とする. このとき, 以下の問に答えよ.
(1) 複素数平面上の点 \(\text{C} ( \alpha^2 )\) , \(\text{D} ( \beta^2 )\) と原点 O の \(3\) 点は一直線上にあることを示せ.
(2) 点 \(\text{P} (z)\) が直線 AB 上を動くとき, \(z^2\) の実部を \(x\) , 虚部を \(y\) として, 点 \(\text{Q} ( z^2 )\) の軌跡を \(x , y\) の方程式で表せ.
(3) 点 \(\text{P} (z)\) が三角形 OAB の周および内部にあるとき, 点 \(\text{Q} ( z^2 )\) 全体のなす図形を \(K\) とする. \(K\) を複素数平面上に図示せよ.
(4) (3) の図形 \(K\) の面積を求めよ.
\(n , k\) を \(2\) 以上の自然数とする. \(n\) 個の箱の中に \(k\) 個の玉を無作為に入れ, 各箱に入った玉の個数を数える. その最大値と最小値の差が \(\ell\) となる確率を \(P _ {\ell} \ ( 0 \leqq \ell \leqq k )\) とする. このとき, 以下の問に答えよ.
(1) \(n = 2\) , \(k = 3\) のとき, \(P_0 , P_1 , P_2 , P_3\) を求めよ.
(2) \(n \geqq 2\) , \(k = 2\) のとき, \(P_0 , P_1 , P_2\) を求めよ.
(3) \(n \geqq 3\) , \(k = 3\) のとき, \(P_0 , P_1 , P_2 , P_3\) を求めよ.
正四面体 OABC に対し, 三角形 ABC の外心を M とし, M を中心として点 A, B, C を通る球面を \(S\) とする. また, \(S\) と辺 OA, OB, OC との交点のうち, A, B, C とは異なるものをそれぞれ D, E, F とする. さらに, \(S\) と三角形 OAB の共通部分として得られる弧 DE を考え, その弧を含む円周の中心を G とする. \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{\text{OA}}\) , \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{\text{OB}}\) , \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{\text{OC}}\) として, 以下の問に答えよ.
(1) \(\overrightarrow{\text{OD}} , \overrightarrow{\text{OE}} , \overrightarrow{\text{OF}} , \overrightarrow{\text{OG}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c}\) を用いて表せ.
(2) 三角形 OAB の面積を \(S_1\) , 四角形 ODGE の面積を \(S_2\) とするとき, \(S_1 : S_2\) をできるだけ簡単な整数比により表せ.
\(xy\) 平面において \(2\) つの円 \[\begin{align} C _ 1 \ & : \ x^2 -2x +y^2 +4y -11 = 0 \ , \\ C _ 2 \ & : \ x^2 -8x +y^2 -4y +k = 0 \end{align}\] が外接するとし, その接点を P とする. 以下の問いに答えよ.
(1) \(k\) の値を求めよ.
(2) P の座標を求めよ.
(3) 円 \(C_1\) と円 \(C_2\) の共通接線のうち点 P を通らないものは \(2\) 本ある. これら \(2\) 直線の交点 Q の座標を求めよ.