名古屋大理系2021：第3問

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\(1\) から \(12\) までの数字が下図のように並べて書かれている. 以下のルール (a) , (b) と (終了条件) を用いたゲームを行う, ゲームを開始すると最初に (a) を行い, (終了条件) が満たされたならゲームを終了する. そうでなければ (終了条件) が満たされるまで (b) の操作を繰り返す. ただし, (a) と (b) における数字を選ぶ操作はすべて独立な試行とする.

  1. (a)　\(1\) から \(12\) までの数字のどれか \(1\) つを等しい確率で選び, 下の図において選んだ数字を丸で囲み, その上に石を置く.

  2. (b)　石が置かれた位置の水平右側または垂直下側の位置にある数字のどれか \(1\) つを等しい確率で選び, その数字を丸で囲み, そこに石を移して置く. 例えば, 石が \(6\) の位置に置かれているときは, その水平右側または垂直下側の位置にある数字 \(7, 8, 9, 10, 12\) のどれか \(1\) つの数字を等しい確率で選び, その数字を丸で囲み, そこに石を移して置く.

  3. (終了条件)　\(5, 9, 11, 12\) の数字のどれか \(1\) つが丸で囲まれ石が置かれている.

ゲームの終了時に数字 \(j\) が丸で囲まれている確率を \(p_j\) とする. 以下の問に答えよ.

ngr20210301

  1. (1)　確率 \(p_2\) を求めよ.

  2. (2)　確率 \(p_5\) と \(p_{11}\) を求めよ.

  3. (3)　確率 \(p_5 , p_9 , p_{11} , p_{12}\) のうち最も大きいものの値を求めよ.

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名古屋大理系2021：第4問

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\(0 \leqq a \lt 1\) を満たす実数 \(a\) に対し, 数列 \(\{ a_n \}\) を \[ a_1 = a , \qquad a _ {n+1} = 3 \left[ a_n +\dfrac{1}{2} \right] -2 a_n \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] という漸化式で定める. ただし \([x]\) は \(x\) 以下の最大の整数を表す. 以下の問に答えよ.

  1. (1)　\(a\) が \(0 \leqq a \lt 1\) の範囲を動くとき, 点 \(( x , y ) = ( a_1 , a_2 )\) の軌跡を \(xy\) 平面上に図示せよ.

  2. (2)　\(a_n -[ a_n ] \geqq \dfrac{1}{2}\) ならば, \(a_n \lt a _ {n+1}\) であることを示せ.

  3. (3)　\(a_n \gt a _ {n+1}\) ならば, \(a _ {n+1} = 3 [ a_n ] -2 a_n\) かつ \([ a _ {n+1} ] = [ a_n ] -1\) であることを示せ.

  4. (4)　ある \(2\) 以上の自然数 \(k\) に対して, \(a_1 \gt a_2 \gt \cdots \gt a_k\) が成り立つとする. このとき \(a_k\) を \(a\) の式で表せ.

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阪大理系2021：第1問

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\(a , b\) を \(ab \lt 1\) をみたす正の実数とする. \(xy\) 平面上の点 P \(( a , b )\) から, 曲線 \(y = \dfrac{1}{x} \ ( x \gt 0 )\) に \(2\) 本の接線を引き, その接点を Q \(\left( s , \dfrac{1}{s} \right)\) , R \(\left( t , \dfrac{1}{t} \right)\) とする.
ただし, \(s \lt t\) とする.

  1. (1)　\(s\) および \(t\) を \(a , b\) を用いて表せ.

  2. (2)　点 P \(( a , b)\) が曲線 \(y = \dfrac{9}{4} -3 x^2\) 上の \(x \gt 0\) , \(y \gt 0\) をみたす部分を動くとき, \(\dfrac{t}{s}\) の最小値とそのときの \(a , b\) の値を求めよ.

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阪大理系2021：第2問

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空間内に, 同一平面上にない \(4\) 点 O, A, B, C がある. \(s , t \) を \(0 \lt s \lt 1\) , \(0 \lt t \lt 1\) をみたす実数とする. 線分 OA を \(1 : 1\) に内分する点を \(\text{A} {} _0\) , 線分 OB を \(1 : 2\) に内分する点を \(\text{B} {} _0\) , 線分 AC を \(s : (1-s)\) に内分する点を P , 線分 BC を \(t : (1-t)\) に内分する点を Q とする. さらに \(4\) 点 \(\text{A} _0 , \text{B} {} _0 , \text{P} , \text{Q}\) が同一平面上にあるとする.

  1. (1)　\(t\) を \(s\) を用いて表せ.

  2. (2)　\(\left| \overrightarrow{\text{OA}} \right| = 1\) , \(\left| \overrightarrow{\text{OB}} \right| = \left| \overrightarrow{\text{OC}} \right| = 2\) , \(\angle \text{AOB} = 120^\circ\) , \(\angle \text{BOC} = 90^\circ\) , \(\angle \text{COA} = 60^\circ\) , \(\angle \text{POQ} = 90^\circ\) であるとき, \(s\) の値を求めよ.

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阪大理系2021：第3問

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\(n\) を 自然数とし, \(t\) を \(t \geqq 1\) をみたす実数とする.

  1. (1)　\(x \geqq t\) のとき, 不等式 \[ -\dfrac{(x-t)^2}{2} \leqq \log x -\log t -\dfrac{1}{t} (x-t) \leqq 0 \] が成り立つことを示せ.

  2. (2)　不等式 \[ -\dfrac{1}{6 n^3} \leqq \displaystyle\int_{t}^{t +\frac{1}{n}} \log x \, dx -\dfrac{1}{n} \log t -\dfrac{1}{2t n^2} \leqq 0 \] が成り立つことを示せ.

  3. (3)　\(a_n = \textstyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} \log \left( 1 +\dfrac{k}{n} \right)\) とおく. \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} ( a_n -pn ) = q\) をみたすような実数 \(p , q\) の値を求めよ.

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阪大理系2021：第4問

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　整数 \(a , b , c\) に関する次の条件 (＊) を考える. \[ \displaystyle\int_{a}^{c} ( x^2 +bx ) \, dx = \displaystyle\int_{b}^{c} ( x^2 +ax ) \, dx \quad \cdots ( \text{＊} ) \]

  1. (1)　整数 \(a , b, c\) が (＊) および \(a \neq b\) をみたすとき, \(c\) は \(3\) の倍数であることを示せ.

  2. (2)　\(c = 3600\) のとき, (＊) および \(a \lt b\) をみたす整数の組 \(( a , b)\) の個数を求めよ.

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阪大理系2021：第5問

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次の問いに答えよ.

  1. (1)　\(a\) を実数とする. \(x\) についての方程式 \(x -\tan x = a\) の実数解のうち, \(|x| \lt \dfrac{\pi}{2}\) をみたすものがちょうど\(1\) つあることを示せ.

  2. (2)　自然数 \(n\) に対し, \(x -\tan x = n \pi\) かつ \(|x| \lt \dfrac{\pi}{2}\) をみたす実数 \(x\) を \(x_n\) とおく. このとき, 曲線 \(C : y = \sin x\) 上の点 P \(( t , \sin t)\) における接線が, 不等式 \(x \geqq \dfrac{\pi}{2}\) の表す領域に含まれる点においても曲線 \(C\) と接するための必要十分条件は, \(t\) が \(x_1 , x_2 , x_3 , \cdots\) のいずれかと等しいことであることを示せ.

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東工大2021：第1問

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正の整数に関する条件

  1. (＊)　\(10\) 進法で表したときに, どの位にも数字 \(9\) が現れない.

を考える. 以下の問いに答えよ.

  1. (1)　\(k\) を正の整数とするとき, \(10^{k-1}\) 以上かつ \(10^k\) 未満であって条件 (＊) を満たす正の整数の個数を \(a_k\) とする. このとき, \(a_k\) を \(k\) の式で表せ.

  2. (2)　正の整数 \(n\) に対して, \[ b_n = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{n} & ( \ n \ \text{が条件 (＊) を満たすとき} \ ) \\ 0 & ( \ n \ \text{が条件 (＊) を満たさないとき} \ ) \end{array} \right. \] とおく. このとき, すべての正の整数 \(k\) に対して次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \textstyle\sum\limits _ {n=1}^{10^k -1} b_n \lt 80 \]

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